,.
§1 反常积分概念
269 而当 q≥1 时 , 瑕积分 ( 8) 发散于 + ∞ . 上述结论在图 11 - 4 中同样能获得直观的反映 . 如果把例 3 与例 6 联系起来 , 考察反常积分
+ ∞
∫
0
d x xp ( p > 0 ) . ( 9) 我们定义
∫
+ ∞
d x 1
0
xp =∫x d xp + ∞
d x 0
+∫
1
xp , 它当且仅当右边的瑕积分和无穷积分 都收 敛时 才收敛 .但 由例 3 与 例 6 的结 果 可知 , 这 两 个 反 常 积 分 不 能 同 时 收 敛 , 故 反 常 积 分 ( 9 ) 对 任 何 实 数 p 都 是 发散的 . 习 题
1 . 讨论下列无穷积分是否收敛 ? 若收敛 , 则求其值 : ( 1) ∫∫+ ∞
xe
0
- 2
d x ; (2) x ∫ xe
- ∞
+ ∞
2
- x d x ; ( 3) + ∞
1 d x ; e
(4) ∫
1
+ ∞
2 d x ;
0
x ( 1 + x) + ∞
x + ∞
( 5) ∫- ∞
2
d x ; (6)∫
0
e- x sin xd x; ( 7) ∫∫∫+ ∞ - ∞
4 x+ 4 x + 5
x esin xd x ; (8) x ∫ 1 d
+ x0
+ ∞
2
.2 . 讨论下列瑕积分是否收敛 ?若收敛 , 则求其值 : ( 1) b
d x ; (2) ∫
0 1
1
d x ; 2
a p 2
( x - a) d x 1 - x
( 3) 0
| x - 1
; (4)∫ | x d x; ,.
0
1 - x2
( 5) ∫∫ 1 0
ln x d x ; d x (6) ∫ 1 - x 0
1
x d x; ( 7)
0
1
; (8) ∫ 0
1
d x p . x - x( ln x) x2
3 . 举例说明 : 瑕积分f ( x) d x 收敛时, a 4 . 举例说明: ∫
b ∫
b a f2 ( x) d x 不一定收敛 .
∫
a + ∞ a f ( x) d x 收敛且 f 在 [ a , + ∞ ) 上连续时 , 不一定有 lim
x→ +∞
f ( x) = 0 . 5 . 证明: 若
∫
+ ∞
f ( x )d x 收敛 , 且存在极限 f ( x) = A , 则 A = 0 . x→ +∞
lim
,.
270
第十一章 反 常 积 分
与 ∫ f ( x)d x ∫
a a + ∞
+ ∞
6 . 证明: 若 f 在[ a, + ∞) 上可导 , 且 f ′( x)d x 都收敛 , 则 lim
x→ +∞
f ( x) = 0 . §2 无穷积分的性质与收敛判别
一 无穷积分的性质
由定 义 知 道 , 无 穷 积 分
∫ f ( x) d x 收 敛 与 否 , 取 决 于 函 数
a + ∞
F( u ) = ∫
a u f ( x ) d x 在 u → + ∞ 时是否存在极限 .因此可由函数极限的柯西准则导出无穷
积分收敛的柯西准则 . 定理 11 .1 无穷积分
∫ f ( x ) d x 收敛 的充要条件是 : 任给 ε > 0 , 存在 G a + ∞
≥ a, 只要 u1 、u2 > G , 便有
∫ 2
u f ( x ) d x -∫
1
u f ( x )d x = ∫
u 2
f ( x )d x < ε . a a u 1
此外 , 还可根据函数极限的性质与定积分的性质 , 导出无穷积分的一些相应 性质 . 性质 1 若
+ ∞ a + ∞ a ∫ f1
( x) d x 与
∫ f2
( x) d x 都 收 敛 , k1 、k2 为 任 意 常 数 , 则
∫ [ ka + ∞
1 1
f( x) + k2 f2 ( x) ] d x 也收敛 , 且
1 1
[ k∫
+ ∞
f( x ) + k2 f2 ( x ) ] d x = k1
aa ∫
+ ∞
f1 ( x ) d x + k2
∫
+ ∞ a f2 ( x) d x . ( 1) 性 质 2 若 f 在 任 何 有 限 区 间 [ a , u] 上 可 积 , a < b, 则
+ ∞ b ∫ f ( x ) d x 与
a + ∞
∫ f ( x) d x 同敛态 ( 即同时收敛或同时发散 ) , 且有
∫ f ( x) d x =∫f ( x )d x +∫ f ( x )d x , a a b + ∞
b + ∞
( 2) ,.
其中右边第一项是定积分 . 性质 2 相当于定积分的积分区间可加性 , 由它又可导出 另一充要条件 : 任给 ε > 0 , 存在 G ≥ a , 当 u > + ∞ u ∫ f ( x ) d x 收敛的
a + ∞
G 时 , 总有
∫ f ( x ) d x < ε . ,.
§2 无穷积分的性质与收敛判别
271 事实上 , 这可由
+ ∞
u + ∞
∫ f ( x ) d x =∫f ( x ) d x +∫ f ( x ) d x a a u 结合无穷积分的收敛定义而得 . 性质 3 若 f 在任何有限区间 [ a , u] 上可积 , 且有
∫ | f ( x ) | d x 收敛 , a + ∞
∫ f ( x) d x 亦必收敛 , 并有
a + ∞
则
∫ f ( x) d x ≤∫
a a + ∞ + ∞
∫
证 由
+ ∞
f ( x ) d x . ( 3) a f ( x) d x 收敛 , 根据柯西准则 ( 必要性 ) , 任给 ε > 0 , 存在 G ≥
a , 当 u2 > u1 > G 时 , 总有
∫ 2
u u f ( x ) d x=
∫ f ( x ) d x < ε . 2
u 1
u
1
利用定积分的绝对值不等式 , 又有
∫
u
u 2
f ( x ) d x ≤
2
11
∫ f ( x ) d x < ε . u u 再由柯西准则 ( 充分性 ) , 证得
∫
a + ∞
f ( x ) d x 收敛 . d x ( u > a) , 令 u → + ∞ 取极限 , 立刻得到不
又因f ( x) d x ≤f ( x ) a a ∫
u ∫
u 等式 (3 ) . 当
∫
a + ∞
f ( x ) d x 收敛时 , 称
∫ f ( x )d x 为绝对收敛 .性质 3 指出 : 绝对收敛
a + ∞
的无穷积分 , 它自身也一定收敛 .但是它 的逆命 题一 般不成 立 , 今 后将举 例说 明 收敛的无穷积分不一定绝对收敛 . 我们称收敛而不绝对收敛者为条件收敛 .
数学分析(华东师大)第十一章反常积分
