,.
第 十 一 章 反 常 积 分
§1 反常积分概念
一 问题提出
在讨论定积分时有两个最基本的限 制 : 积分 区间 的有穷 性和 被积函 数的 有 界性 .但在很多实际问题中往往需要突 破这 些限制 , 考虑无 穷区 间上的“ 积分”, 或是无界函数的“积分”, 这便是本章的主题 . 例 1 ( 第二宇宙速度问题 ) 在地球表面垂直发射火箭 ( 图 11 - 1 ) , 要使火 箭克服地球引力无限远离地球 , 试问初速度 v0 至少要多大 ? 设地球半径为 R, 火箭质量为 m, 地面上的重力加速度为
g .按万有引力定律 , 在距地心 x( ≥ R) 处火箭所受的引力为
F = mg R
2
. x2
于是火箭从地面上升到距离地心为 r ( > R) 处需作的功为
∫
r
mg R d x = mg R2 1
2
- 1
. 图 11 - 1
R x2
R r 当 r → + ∞ 时 , 其 极限 mg R 就是 火箭 无限 远 离地 球 需作 的 功 .我们很自然地会把这极限写作上限为 + ∞的“ 积分”: + ∞
∫
R mg Rx
2
2
r d x = lim
∫
mgRx2
2
d x = mg R . r → + ∞ R 最后 , 由机械能守恒定律可求得初速度 v0 至少应使
1 2
2
mv0 = mg R . ,.
用 g = 9 .81 ( m6s/) , R = 6 .371× 10( m) 代入 , 便得
2 6
v0 = 2 g R ≈ 11 .2( km6s/) .
例 2 圆 柱形桶 的内壁高 为 h , 内半 径为 R , 桶底有 一半径为 r 的小孔 ( 图 11 - 2) .试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水 , 共需多少时间 ? ,.
§1 反常积分概念
265 从物理学知道 , 在 不计 摩 擦力 的情 形下 , 当桶 内水 位 高度为 ( h - x ) 时 , 水从孔中流出的流速 ( 单位 时间内 流过 单位截面积的流量 ) 为
v = 2 g( h - x) , 其中 g 为重力加速度 . 设在很小一段时 间 d t 内 , 桶 中液 面降 低 的微 小量 为 d x , 它们之间应满足
πR2 d x = vπr2 d t , 图 11 - 2
由此则有
d t = r2
R 2
2 g( h - x ) h d x , x ∈ [0 , h] . 所以流完一桶水所需时间在形式上亦可写成“积分”: tf = ∫ 0
r2
R2
2 g( h - x) 2
x . d
但是在这里因为被积函数是 [0 , h) 上的无界函数 , 所以它的确切含义应该是
tf = lim
- u → h ∫
u
2 0
R r 2 g( h - x) 2
d x = lim - u → h 2
R g ·r2 2
h - h - u = 2 h R g r . 相对于以前所讲的定积分 ( 不妨 称之 为正常 积分 ) 而 言 , 例 1 和例 2 分别 提 出了两类反常积分 . 二 两类反常积分的定义
定义 1 设函数 f 定义在无穷区间 [ a, + ∞ ) 上 , 且在任 何有 限区间 [ a , u] 上可积 .如果存在极限
u→ + ∞ a limf ( x) d x = J, ∫
u
( 1) 则称此极限 J 为函数 f 在 [ a, + ∞ ) 上的无穷限反常积分 ( 简称无穷积分 ) , 记作
,.
J = + ∞
∫ f ( x) d x , a + ∞ a + ∞
( 1′) 并称
x ∫ f ( x) d x 收 敛 . 如 果 极 限 ( 1) 不 存 在 , 为 方 便 起 见 , 亦 称 ∫ f ( x) d
a 发散 . 类似地 , 可定义 f 在 ( - ∞ , b] 上的无穷积分 : ,.
266
b
第十一章 反 常 积 分
∫ f ( x )d x = - ∞ u → - ∞ u limf ( x) d x . ∫
b
( 2) 对于 f 在 ( - ∞ , + ∞ ) 上的无穷积分 , 它用前面两种无穷积分来定义 : ∫ f ( x ) d x ∫ f ( x) d x + ∫f ( x) d x , - ∞ ∞
+ ∞ a + ∞ a = ( 3) - 其中 a 为任一实数 , 当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的 . 注 1 无穷积分 ( 3) 的收敛性与收敛时的值 , 都和实数 a 的选取无关 . 注 2 由于无穷积分 ( 3) 是由 (1 ) 、( 2) 两类无 穷积分来 定义 的 , 因此 , f 在 任 何有限区间 [ v , u] ì ( - ∞ , + ∞ ) 上 , 首先必须是可积的 . 注 3
∫ f ( x ) d x 收 敛 的 几 何 意 义 是 : 若 f 在
a + ∞
[ a , + ∞ ) 上为非负连续函数 , 则图 11 - 3 中介于曲线 y = f ( x) , 直线 x = a 以及 x 轴之间那一块向右无限
延伸的阴影区域有面积 J . 例 3 讨论无穷积分
+ ∞
图 11 - 3
∫ d x 1
的收敛性 . 解 由于
xp ( 4) ∫ x1
u d x p = - p 1 1 1 - - 1 ) , p ≠ 1 , ( u p ln u , lim
u → + ∞ 1
∫
u
d x 1
p = 1 , xp= , p > 1
p - 1 + ∞ p ≤ 1 , 1
因此无穷积分 (4 ) 当 p > 1 时收敛 , 其值为
p - 1
; 而当 p≤1 时发散于 + ∞ .
从图 11 - 4 看到 , 例 3 的结论是 很直观 的 : p 1
的值越大 , 曲线 y = 当 x > 1 时越靠近 x 轴 , 从
xp
数学分析(华东师大)第十一章反常积分
