7（乙）．解：如图，设所以
的中点为
，连接
，则
．因为
，
，
．
（第7（乙）题）
所以 .
8（甲）．
解：根据题意，关于x的方程有
=k2－4
由此得 (k－3)2≤0．
≥0，
又(k－3)2≥0，所以(k－3)2=0，从而k=3. 此时方程为x2+3x+
=0，解得x1=x2=.
故==．
8（乙）．1610 解：因为
=
=
.
当被5除余数是1或4时，整除；
当被5除余数是2或3时，当被5除余数是0时，
或能被5整除，则能被5
能被5整除，则
不能被5整除.
能被5整除；
所以符合题设要求的所有的个数为9（甲）．8
解：设平局数为，胜（负）局数为，由题设知
，
由此得0≤b≤43.
．
又 0≤
，所以≤43，
87≤
. 于是
≤130，
由此得 ，或.
当故
时，．
；当时，，，不合题设.
9（乙）． 解：由题设得
≤1
所以 ，
即 .
整理得
，
由二次函数的图象及其性质，得.
又因为 ≤1，所以≤1.
10（甲）．
解：如图，连接AC，BD，OD.
（第10（甲）题）
由AB是⊙O的直径知∠BCA =∠BDA = 90°.
依题设∠BFC = 90°，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，所以∠BCF =∠BAD,
所以 Rt△BCF∽Rt△BAD ，因此 .
因为OD是⊙O的半径，AD = CD，所以OD垂直平分AC，OD∥BC，
于是 . 因此.
由△∽△，知．因为，
所以 ，BA=AD ，故
.
10（乙）. 12
解：由已知有4的倍数．设
（Ⅰ）若（Ⅱ）若
，则1≤，可得
，且为偶数，所以≤25．
，与b是正整数矛盾．
同为偶数，于是是
至少有两个不同的素因数，则至少有两个正整数对满足
；若恰是一个素数的幂，且这个幂指数不小于3，则至少有两个正整数
对满足（Ⅲ）若
是素数，或
．
恰是一个素数的幂，且这个幂指数为2，则有唯一的正整数
对满足
因为有唯一正整数对
．
，所以m的可能值为2，3，4，5，7，9，11，13，17，19，
23，25，共有12个．
三、解答题
11（甲）．解： 因为当
时，恒有
，所以 ，
即
，所以
． ????（5分）
当且解得
≤设方程系数的关系得
．
时，
≤；当≤，
．????（10分）
的两个实数根分别为
，由一元二次方程根与
时，
≤，即
≤，
因为，所以
，
解得
因此
，或
．
．????（20分）
11（乙）．解：因为sin∠ABC=由勾股定理，得 BO=
.
，，所以AB = 10．
（第11（乙）题）
易知△ABO≌△ACO， 因此 CO = BO = 6. 于是A（0，－8），B（6，0），C（－6，0）.
设点D的坐标为（m，n），由S△COE = S△ADE，得S△CDB = S△AOB. 所以
，，解得n=－4.
因此D为AB的中点，点 D的坐标为（3，－4）. ????（10分）
因此CD，AO分别为AB，BC的两条中线，点E为△ABC的重心，所以点E的坐标为
.
设经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为y=a（x－6）（x+6）. 将点
E的坐标代入，解得a =.
故经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为
. ????（20分）
2012初中数学竞赛题和答案（正题）
