14（甲）．求所有正整数n，使得存在正整数，满足，
且
14（乙）．将
.
（n≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数，求的最小值．
（可以相同）使得
2012年全国初中数学竞赛试题（正题）参考答案
一、选择题
1（甲）．C
解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知
，且
所以
1（乙）．B
，
．
解：2（甲）．D
．
解：由题设知，，，所以.
解方程组得
所以另一个交点的坐标为（3，2）.
注：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）.
2（乙）．B
解：由题设x＋y≤2x＋2y， 得0≤因为
均为整数，所以有
2
2
≤2.
解得
以上共计9对3（甲）．D 解：由题设知，
.
，所以这四个数据的平均数为
，
中位数为 ，
于是 .
3（乙）．B
解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE.
（第3（乙）题）
由于AC = BC，CD = CE，
∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD =∠ACE， 所以△BCD≌△ACE， BD = AE. 又因为在Rt△于是DE=4（甲）．D
解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，可得
均为非负整数. 由题设
中，
，所以
，所以CD = DE = 4.
.
消去x得 (2y－7)n = y+4，
2n =.
因为为正整数，所以2y－7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，5，
6，11．从而n的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，7．
4（乙）．C
解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为二次函数
的图象知，当
时，
，故方程的根为一正一负．由，所以
，即
. 由于
有
5（甲）．D
都是正整数，所以. 于是共有7组
，1≤q≤5；或 符合题意．
，1≤q≤2，此时都
解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以
，因此
5（乙）．C 解：因为1后的乘积不变．
设经过99次操作后黑板上剩下的数为，则
最大．
，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加
，
解得
二、填空题 6（甲）．7＜x≤19
解：前四次操作的结果分别为
3x－2，3(3x－2)－2 = 9x－8，3(9x－8)－2 = 27x－26，3(27x－26)－2 = 81x－80.
由已知得 27x－26≤487， 81x－80＞487. 解得 7＜x≤19.
容易验证，当7＜x≤19时，7＜x≤19．
6（乙）．7 解：由已知可得
≤487
≤487，故x的取值范围是
，
．
．
7（甲）．8
解：连接DF，记正方形
的边长为2. 由题设易知△
∽△
，所以
，
由此得，所以.
（第7（甲）题）
在Rt△ABF中，因为
，所以 ，
于是 .
，
.
由题设可知△ADE≌△BAF，所以
于是 ，
，
.
又因为
，所以
，所以.
.
2012初中数学竞赛题和答案（正题）
