2012年全国初中数学竞赛试题（正题）
一 题 号 1～5 得 分 评卷人 复查人 6～10 11 12 13 14 二 三 总 分 答题时注意：
1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交.
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1（甲）．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式
可以化简为（ ）．
（第1（甲）题）
（A）2c?a （B）2a?2b （C）?a （D）a
1（乙）．如果（A）
（B）
，那么的值为（ ）．
（C）2 （D）
2（甲）．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数y =（b ≠0 ）的图象有两个
交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（ ）．
（A）（2，3） （B）（3，－2） （C）（－2，3） （D）（3，2） 2（乙）． 在平面直角坐标系y）的个数为（ ）．
中，满足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整数点坐标（x，
（A）10 （B）9 （C）7 （D）5
3（甲）．如果
为给定的实数，且
，那么
这四
个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ）．
（A）1 （B）
（C） （D）
（乙）3．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．AD = 3，BD = 5，则CD的长为（ ）．
，
（第3（乙）题）
（A）
B）4 （C）
（D）4.5
4（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（ ）．
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 4（乙）．如果关于x的方程 这样的方程的个数是（ ）．
（A） 5 （B） 6 （C） 7 （D） 8
5（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为
，则
（A）
（B）
（C）
中最大的是（ ）． （D）
是正整数）的正根小于3， 那么
5（乙）．黑板上写有中选取2个数
，然后删去
共100个数字．每次操作先从黑板上的数
，并在黑板上写上数
，则经过99次操作后，
黑板上剩下的数是（ ）．
（A）2012（B）101 （C）100 （D）99 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是 .
（第6（甲）题）
6（乙）. 如果a，b，c是正数，且满足，，
那么的值为 ．
7（甲）．如图，正方形ABCD的边长为2
，E，F分别是AB，BC的中点，AF与
DE，DB分别交于点M，N，则△DMN的面积是 .
（第7（甲）题） （第7（乙）题）
7（乙）．如图，且
.延长
，与
的半径为20，
分别交于
是
上一点.以两点，则
为对角线作矩形的值等于 ．
，
8（甲）．如果关于x的方程x2+kx+k2－3k+
= 0的两个实数根分别为，，那么
的值为 ．
8（乙）．设为整数，且1≤n≤2012. 若的个数为 .
能被5整除，则所有
9（甲）．2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m的值为 .
9（乙）．如果正数x，y，z可以是一个三角形的三边长，那么称
是三角形
数．若和均为三角形数，且a≤b≤c，则的取值范围是
10（甲）．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，AD = DC. 分别延长BA，CD，交点为E. 作BF⊥EC，并与EC的延长线交于点F. 若AE = AO，BC = 6，则CF的长为 .
（第10（甲）题）
10（乙）．已知
是偶数，且1≤≤100．若有唯一的正整数对
使得
成立，则这样的的个数为 ．
三、解答题（共4题，每题20分，共80分） 11（甲）．已知二次函数
，当
时，恒有
；
关于x的方程围．
的两个实数根的倒数和小于．求的取值范
11（乙）． 如图，在平面直角坐标系xOy中， AO = 8，AB = AC，sin∠ABC=．
CD与y轴交于点E，且S△COE = S△ADE. 已知经过B，C，E三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式.
（第11（乙）题）
12（甲）．如图，上的点，线与
与交于点
的直径为
，且
，
过点．点．
，且与在
内切于点
．
为
交于点上，且，BE的延长
，求证：△BOC∽△
（第12（甲）题）
12（乙）．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线， AC的中点I是△ABD的内心. 求证：
（1）OI是△IBD的外接圆的切线； （2）AB+AD = 2BD.
（第12（乙）题）
13（甲）．已知整数a，b满足：a－b是素数，且ab是完全平方数. 当a≥2012时，求a的最小值.
13（乙）．凸边形中最多有多少个内角等于
？并说明理由
2012初中数学竞赛题和答案（正题）
