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2024年普通高等学校模拟题数学(理)试题汇编
概率部分
1．（全国1）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲、乙各胜1局。
（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；
（2）设? 表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求? 的分布列及数学期望。
解：（1）记Ai表示事件：第i局甲获胜，i?3,4,5；Bj表示事件：第j局甲获胜，j?3,4
B
表示事件：甲获胜，因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次
比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲获胜2局，从而
B?A3A4?B3A4A5?A3B4A5，由于各局比赛结果相互独立，故P(B)?P(A3A4)?P(B3A4A5)?P(A3B4A5)
?P(A3)P(A4)?P(B3)P(A4)P(A5)?P(A3)P(B4)P(A5)
?0.6?0.6?0.4?0.6?0.6?0.6?0.4?0.6?0.648
（2）?的取值可以为2，3，由于各局比赛结果相互独立， 故P(??2)?P(A3A4?B3B4)?P(A3A4)?P(B3B4)?P(A3)P(A4)?P(B3)P(B4)
?0.6?0.6?0.4?0.4?0.52
P(??3)?1?P(??2)?1?0.52?0.48
所以随机变量?的分布列为 ? 2 3
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P 0.52 0.48
随机变量?的数学期望E??2P(??2)?3P(??3)?2?0.52?3?0.48?2.48 2．（全国2/20）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。 （I）求从甲、乙两组各抽取的人数； （II）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
（III）记?表示抽取的3名工人中男工人数，求?的分布列及数学期望。
解：（1）因为抽取比为3111?，由10??2，5??1得10?5555 应在甲组抽取2人、在乙组抽取1人 （2）设从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的事件为A1C186C4 则P(A)=2?15C10
所以从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率为（3）依题意??0、1、、238151111C2C1C22284C36C4C34C2 由P（??0）?21?， P（??1）?21?21?，C10C525C10C5C10C575 P（??2）=CCCCCCC3110?21?， P（??3）??7575CCC10C5CC262101315161412216221105
得?的分布列如表 ? P 0 2 25 1 2 3 10 752831 75752831108所以?的数学期望E??1??2??3???1?6
7575755宝岛优品—倾心为你打造精品文档
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3．（山东11）在区间??1,1?上随机取一个数x,cos间的概率为 （A） (B)
13?x2的值介于0到之
12212 (C) (D)
23?【解析】:在区间[-1，1]上随机取一个数x,即x?[?1,1]时,要使cos?x21??x???x?2值介于0到之间,需使????或??∴?1?x??或
2223322322?x1的值介于0到之间的?x?1，区间长度为，由几何概型知cos332221概率为3?.故选A.
23的
答案:A
【命题立意】:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量x的取值范围,得到函数值cos?x2的范围,再由长度型几何概型求得.
4．（山东19）在某学校组织的一次蓝球定点投蓝训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投三次。某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2.该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用?表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为
???求q2的值；
????求随机变量?的数学期量E?；
?????试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投
篮得分超过3分的概率的大小。
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解:（1）设该同学在A处投中为事件A,在B处投中为事件B,则事件A,B相互独立,且P(A)=0.25,P(A)?0.75, P(B)= q2,P(B)?1?q2. 根据分布列知: ?=0时P(ABB)?P(A)P(B)P(B)?0.75(1?q2)2=0.2024,所以1?q2?0.2，q2=0.8.
（2）当?=2时, P1=P(ABB?ABB)?P(ABB)?P(ABB)
?P(A)P(B)P(B)?P(A)P(B)P(B)=0.75 q
2( 1?q2)×2=1.5
q2( 1?q2)=0.24
当?=3时, P2 =P(ABB)?P(A)P(B)P(B)?0.25(1?q2)2=0.2024, 当?=4时, P3=P(ABB)?P(A)P(B)P(B)?0.75q22=0.48, 当?=5时, P4=P(ABB?AB)?P(ABB)?P(AB)
?P(A)P(B)P(B)?P(A)P(B)?0.25q2(1?q2)?0.25q2=0.24
所以随机变量?的分布列为
? 0 2 3 4 5 p 0.2 0.0.019 0.24 0.2024 24 48
随
机
变
量
?的数学期望
E??0?0.03?2?0.24?3?0.01?4?0.48?5?0.24?3.63
（3）该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为
P(BBB?BBB?BB)
?P(BBB)?P(BBB)?P(BB)?2(1?q2)q22?q22?0.896;
该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.
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2024年高考数学模拟题汇编大全 (7)
