初二数学平行线难题训练
一．选择题（共1小题） 1．（2014春?山西校级期中）如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角是（ ） A．42°、138° B．都是10°
C．42°、138°或42°、10° D．以上都不对 二．解答题（共28小题） 2．（2015?六盘水）如图，已知，l1∥l2，C1在l1上，并且C1A⊥l2，A为垂足，C2，C3是l1上任意两点，点B在l2上．设△ABC1的面积为S1，△ABC2的面积为S2，△ABC3的面积为S3，小颖认为S1=S2=S3，请帮小颖说明理由．
3．（2014春?宜昌校级期中）如图，直线EF∥GH，点B、A分别在直线EF、GH上，连接AB，在AB左侧作三角形ABC，其中∠ACB=90°，且∠DAB=∠BAC，直线BD平分∠FBC交直线GH于D．
（1）若点C恰在EF上，如图1，则∠DBA=______．
（2）将A点向左移动，其它条件不变，如图2，设∠BAD=α． ①试求∠EBC和∠PBC的大小（用α表示）．
②问∠DBA的大小是否发生改变？若不变，求∠DBA的值；若变化，说明理由． （3）若将题目条件“∠ACB=90°”，改为：“∠ACB=β”，其它条件不变，那么∠DBA=______．（直接写出结果，不必证明）
4．（2014春?雁塔区校级期中）如图，点D、点E分别在△ABC边AB，AC上，∠CBD=∠CDB，DE∥BC，∠CDE的平分线交AC于F点． （1）求证：∠DBF+∠DFB=90°；
（2）如图②，如果∠ACD的平分线与AB交于G点，∠BGC=50°，求∠DEC的度数． （3）如图③，如果H点是BC边上的一个动点（不与B、C重合），AH交DC于M点，∠CAH的平分线AI交DF于N点，当H点在BC上运动时，变化？如果变化，说明理由；如果不变，试求出其值．
的值是否发生
5．如图所示，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE=7，BD=3，△ABD的面积为12，求△ACE的面积．
6．（1）如图①，如果直线l1∥l2，那么三角形ABC与三角形A′BC面积相等吗？为什么？ （2）如图②，平行四边形ABCD与平行四边形AB′C′D有一条公共边AD，BC和B′C′在同一直线上，这两个平行四边形的面积相等吗？为什么？
7．（2016春?平定县期末）如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P 在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．
（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；
（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；
（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明．
8．（2016春?滑县期中）如图所示，已知AB∥CD，分别探究下面图形中∠APC，∠PAB，∠PCD的关系，请你从四个图形中任选一个，说明你所探究的结论的正确性．
①结论：（1）______ （2）______ （3）______ （4）______
②选择结论______，说明理由．
9．（2016春?威海期中）如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P=90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F
（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为______； （2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM=90°；
（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON=30°，∠PEB=15°，求∠N的度数．
10．（2015秋?渠县期末）如图，AB∥CD，∠CDE=121°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF=140°，求∠F的度数．
11．（2015春?武安市期末）探索：小明和小亮在研究一个数学问题：已知AB∥CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A，∠C的数量关系．
发现：在图1中，小明和小亮都发现：∠APC=∠A+∠C；
小明是这样证明的：过点P作PQ∥AB ∴∠APQ=∠A（______） ∵PQ∥AB，AB∥CD． ∴PQ∥CD（______） ∴∠CPQ=∠C
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C 即∠APC=∠A+∠C
小亮是这样证明的：过点作PQ∥AB∥CD． ∴∠APQ=∠A，∠CPQ=∠C ∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C 即∠APC=∠A+∠C
请在上面证明过程的过程的横线上，填写依据；两人的证明过程中，完全正确的是______． 应用：
在图2中，若∠A=120°，∠C=140°，则∠P的度数为______； 在图3中，若∠A=30°，∠C=70°，则∠P的度数为______； 拓展：
在图4中，探索∠P与∠A，∠C的数量关系，并说明理由． 12．（2015春?江西校级期中）已知AD∥BC，AB∥CD，E为射线BC上一点，AE平分∠BAD．
（1）如图1，当点E在线段BC上时，求证：∠BAE=∠BEA．
（2）如图2，当点E在线段BC延长线上时，连接DE，若∠ADE=3∠CDE，∠AED=60°． ①求证：∠ABC=∠ADC； ②求∠CED的度数．
13．（2015秋?连云港校级月考）探究题：
（1）如图1，若AB∥CD，则∠B+∠D=∠E，你能说明理由吗？
（2）反之，若∠B+∠D=∠E，直线AB与直线CD有什么位置关系？简要说明理由． （3）若将点E移至图2的位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？直接写出结论． （4）若将点E移至图3的位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？直接写出结论． （5）在图4中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D之间有何关系？直接写出结论． 14．（2015秋?连云港校级月考）如图，已知OA∥BE，OB平分∠AOE，∠4=∠5，∠2与∠3互余；那么DE和CD有怎样的位置关系？为什么？
15．（2015秋?连云港校级月考）（1）根据下列叙述填依据：
已知：如图①，AB∥CD，∠B+∠BFE=180°，求∠B+∠BFD+∠D的度数． 解：因为∠B+∠BFE=180° 所以AB∥EF（______ ） 因为AB∥CD（______ ） 所以CD∥EF（______ ）
所以∠CDF+∠DFE=180°（______ ）
所以∠B+∠BFD+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD+∠
D=360°
（2）根据以上解答进行探索，如图②，AB∥EF，∠BDF与∠B、∠F有何数量关系
（3）你能探索处图③、图④两个图形中，∠BDF与∠B、∠F的数量关系吗？请写出来． 16．（2014春?路北区期末）已知直线AB∥CD，
（1）如图1，点E在直线BD上的左侧，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是______．
（2）如图2，点E在直线BD的左侧，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，直接写出∠BFD和∠BED的数量关系是______．
（3）如图3，点E在直线BD的右侧BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？请说明理由．
17．（2014春?滨湖区期末）如图1，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE、BE交于点E，∠CBN=100°． （1）若∠ADQ=130°，求∠BED的度数；
（2）将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，若∠ADQ=n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）．
18．（2014春?龙岗区校级期中）如图：已知AB∥DE，若∠ABC=60°，∠CDE=140°，求∠BCD的度数．
19．（2013春?萧山区期末）如图，射线OA∥射线CB，∠C=∠OAB=100°．点D、E在线段CB上，且∠DOB=∠BOA，OE平分∠DOC． （1）试说明AB∥OC的理由； （2）试求∠BOE的度数； （3）平移线段AB；
①试问∠OBC：∠ODC的值是否会发生变化？若不会，请求出这个比值；若会，请找出相应变化规律．
②若在平移过程中存在某种情况使得∠OEC=∠OBA，试求此时∠OEC的度数．
20．（2012春?泸州期中）如图，AB∥CD，点M是线段EF上一点，若点N是直线CD上的一个动点（点N不与F重合）
（1）当点N在射线FC上运动时，求证：∠FMN+∠FNM=∠AEF； （2）当点N在射线FD上运动时，猜想∠FMN+∠FNM 与∠AEF有什么关系？并说明理由．
21．（2012春?北塘区校级期中）如图，DH交BF于点E，CH交BF于点G，∠1=∠2，∠3=∠4，∠B=∠5．
试判断CH和DF的位置关系并说明理由．
22．（2011秋?泉港区期末）如图，点A、B分别在直线CM、DN上，CM∥DN． （1）如图1，连接AB，则∠CAB+∠ABD=______；
（2）如图2，点P1是直线CM、DN内部的一个点，连接AP1、BP1．求证：∠CAP1+∠AP1B+∠P1BD=360°； （3）如图3，点P1、P2是直线CM、DN内部的一个点，连接AP1、P1P2、P2B．试求∠CAP1+∠AP1P2+∠P1P2B+∠P2BD的度数；
（4）若按以上规律，猜想并直接写出∠CAP1+∠AP1P2+…∠P5BD的度数（不必写出过程）．
23．（2011春?灌阳县期中）如图：AE平分∠DAC，∠DAC=120°，∠C=60°，AE与BC平行吗？为什么？
24．（2011春?芗城区校级期中）根据图形及题意填空，并在括号里写上理由． 已知：如图，AD∥BC，AD平分∠EAC． 试说明：∠B=∠C
解：∵AD平分∠EAC（已知） ∴∠1=∠2（角平分线的定义） ∵AD∥BC（已知）
∴∠______=∠______（______） ∠______=∠______（______） ∴∠B=∠C．
25．（2009春?鄂州校级期中）如图∠EFC+∠BDC=180°，∠AED=∠ACB，则∠DEF=∠B，为什么？
26．如图，六边形ABCDEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F．求证：AF∥CD，AB∥DE，BC∥EF．
27．已知，如图，直线AB∥CD，直线EF⊥AB，点M在CD上，MP平分∠GMC，PN平分∠EGM，且∠CMG+∠MGF=90°．
（1）若∠MGN=75°，∠CMG=60°，求∠MPN的度数； （2）若∠MGF=30°，∠CMG=60°，求∠MPN的度数；
（3）若点M在直线CD轴上移动，∠MPN的大小是否发生变化？如果保持不变，请给出证明；如果发生变化，请求出变化范围．
28．如图1，AB∥CD，在AB、CD内有一条折线EPF． （1）求证：∠AEP+∠CFP=∠EPF．
（2）如图2，已知∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，试探索∠EPF与∠EQF之间的关系．
（3）如图3，已知∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，则∠P与∠Q有什么关系，说明理由．
（4）已知∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，有∠P与∠Q的关系为______．（直接写结论）
29．已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点F，E，EM平∠FED，AB∥CD，H，P分别为直线AB和线段EF上的点．
（1）如图1，HM平分∠BHP，若HP⊥EF，求∠M的度数．
（2）如图2，EN平分∠HEF交AB于点N，NQ⊥EM于点Q，当H在直线AB上运动（不与点F重合）时，探究∠FHE与∠ENQ的关系，并证明你的结论．
初二数学平行线难题训练
参考答案与试题解析
一．选择题（共1小题） 1．（2014春?山西校级期中）如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角是（ ） A．42°、138° B．都是10°
C．42°、138°或42°、10° D．以上都不对
【分析】根据两边分别平行的两个角相等或互补列方程求解． 【解答】解：设另一个角为x，则这一个角为4x﹣30°， （1）两个角相等，则x=4x﹣30°， 解得x=10°，
4x﹣30°=4×10°﹣30°=10°；
（2）两个角互补，则x+（4x﹣30°）=180°， 解得x=42°，
4x﹣30°=4×42°﹣30°=138°．
所以这两个角是42°、138°或10°、10°． 以上答案都不对． 故选D． 【点评】本题主要运用两边分别平行的两个角相等或互补，学生容易忽视互补的情况而导致出错．
二．解答题（共28小题）
2．（2015?六盘水）如图，已知，l1∥l2，C1在l1上，并且C1A⊥l2，A为垂足，C2，C3是l1上任意两点，点B在l2上．设△ABC1的面积为S1，△ABC2的面积为S2，△ABC3的面积为S3，小颖认为S1=S2=S3，请帮小颖说明理由．
【分析】根据两平行线间的距离相等，即可解答．
【解答】解：∵直线l1∥l2，
∴△ABC1，△ABC2，△ABC3的底边AB上的高相等， ∴△ABC1，△ABC2，△ABC3这3个三角形同底，等高， ∴△ABC1，△ABC2，△ABC3这些三角形的面积相等． 即S1=S2=S3． 【点评】本题考查了平行线之间的距离，解集本题本题的关键是明确两平行线间的距离相等．
3．（2014春?宜昌校级期中）如图，直线EF∥GH，点B、A分别在直线EF、GH上，连接AB，在AB左侧作三角形ABC，其中∠ACB=90°，且∠DAB=∠BAC，直线BD平分∠FBC交直线GH于D．
（1）若点C恰在EF上，如图1，则∠DBA= 45° ．
（2）将A点向左移动，其它条件不变，如图2，设∠BAD=α． ①试求∠EBC和∠PBC的大小（用α表示）．
②问∠DBA的大小是否发生改变？若不变，求∠DBA的值；若变化，说明理由． （3）若将题目条件“∠ACB=90°”，改为：“∠ACB=β”，其它条件不变，那么∠DBA= β ．（直接写出结果，不必证明）
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CAD=90°，然后求出∠BAC=45°，从而得到∠ABC=45°，再根据BD平分∠FBC求出∠DBC=90°，然后求解即可；
（2）①EF∥GH，得出∠2=∠3，进一步得出∠1=∠3，利用三角形的内角和得出∠EBC，利用平角的意义得出∠PBC；
②根据两直线平行，内错角相等可得∠2=∠3，再根据三角形的内角和定理表示出∠4，然后表示∠5，再利用平角等于180°列式表示出∠DBA整理即可得解． （3）根据（2）的结论计算即可得解． 【解答】解：（1）∵EF∥GH，
∴∠CAD=180°﹣∠ACB=180°﹣90°=90°， ∵∠DAB=∠BAC， ∴∠BAC=45°， ∴∠ABC=45°， ∵BD平分∠FBC， ∴∠DBC=×180°=90°， ∴∠DBA=90°﹣45°=45°； （2）如图，
①∵EF∥GH，
∴∠2=∠3， ∵∠1=∠2=α， ∴∠1=∠3=α， ∵∠ACB=90°，
∴∠EBC=90°﹣∠1﹣∠3=90°﹣2α， ∠PBC=（180°﹣∠EBC）=45°+α；
②设∠DAB=∠BAC=x，即∠1=∠2=x， ∵EF∥GH， ∴∠2=∠3，
在△ABC内，∠4=180°﹣∠ACB﹣∠1﹣∠3=180°﹣∠ACB﹣2x， ∵直线BD平分∠FBC，
∴∠5=（180°﹣∠4）=（180°﹣180°+∠ACB+2x）=∠ACB+x， ∴∠DBA=180°﹣∠3﹣∠4﹣∠5，
=180°﹣x﹣（180°﹣∠ACB﹣2x）﹣（∠ACB+x）， =180°﹣x﹣180°+∠ACB+2x﹣∠ACB﹣x， =∠ACB， =×90°，
=45°；
（3）由（2）可知，
设∠DAB=∠BAC=x，即∠1=∠2=x， ∵EF∥GH， ∴∠2=∠3，
在△ABC内，∠4=180°﹣∠ACB﹣∠1﹣∠3=180°﹣∠ACB﹣2x， ∵直线BD平分∠FBC，
∴∠5=（180°﹣∠4）=（180°﹣180°+∠ACB+2x）=∠ACB+x， ∴∠DBA=180°﹣∠3﹣∠4﹣∠5，
=180°﹣x﹣（180°﹣∠ACB﹣2x）﹣（∠ACB+x）， =180°﹣x﹣180°+∠ACB+2x﹣∠ACB﹣x， =∠ACB， ∠ACB=β时， ∠DBA=β．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
4．（2014春?雁塔区校级期中）如图，点D、点E分别在△ABC边AB，AC上，∠CBD=∠CDB，DE∥BC，∠CDE的平分线交AC于F点． （1）求证：∠DBF+∠DFB=90°；
（2）如图②，如果∠ACD的平分线与AB交于G点，∠BGC=50°，求∠DEC的度数． （3）如图③，如果H点是BC边上的一个动点（不与B、C重合），AH交DC于M点，∠CAH的平分线AI交DF于N点，当H点在BC上运动时，变化？如果变化，说明理由；如果不变，试求出其值．
的值是否发生
【分析】（1）根据DE∥BC，得到∠EDB+∠DBC=180°，再利用角平分线的性质，即可解答； （2）根据FD⊥AB，∠BGC=50°，得到∠DHG=40°，利用外角的性质得到∠FDC+∠HCD=50°，再根据DF平分∠EDC，CG平分∠ACD，得到∠EDC=2∠FDC，∠ACD=2∠HCD，得到∠EDC+∠ACD=2（∠FDC+∠HCD）=100°，利用三角形内角和为180°，∠DEC=180°﹣（∠EDC+∠ACD）=180°﹣100°=80°．
（3）不变，根据∠DMH+∠DEC=2（∠ADF+∠DAN），∠ANF=∠ADF+∠DAN，即可解答． 【解答】解：（1）如图1，
∵DE∥BC，
∴∠EDB+∠DBC=180°，
∴∠EDF+∠FDC+∠CDB+∠DBC=180°， ∵∠CDB=∠DBC，∠EDF=∠FDC， ∴2∠FDC+2∠CDB=180°， ∴∠FDC+∠CDB=90°， ∴FD⊥BD，
∴∠DBF+DFB=90°． （2）如图2，
∵∠BGC=50°，FD⊥BD， ∴∠DHG=40°，
∴∠FDC+∠HCD=40°，
∵DF平分∠EDC，CG平分∠ACD， ∴∠EDC=2∠FDC，∠ACD=2∠HCD，
∴∠EDC+∠ACD=2（∠FDC+∠HCD）=80°，
∴∠DEC=180°﹣（∠EDC+∠ACD）=180°﹣80°=100°． （3）不变，如图3，
∵∠DMH+∠DEC=2（∠ADF+∠DAN），∠ANF=∠ADF+∠DAN， ∴
=
=2．
【点评】本题考查了平行线的性质、三角形角平分线、外角的性质、三角形内角和定理，解决本题的关键是利用三角形的角平分线、外角得到角之间的关系．
5．如图所示，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE=7，BD=3，△ABD的面积为12，求△ACE的面积．
【分析】根据两平行线间的距离相等，可知两个三角形的高相等，所以根据△ABD的面积可求出高，然后求△ACE的面积即可．
【解答】解：在△ABD中，当BD为底时，设高为h， 在△AEC中，当AE为底时，设高为h′， ∵AE∥BD， ∴h=h′，
∵△ABD的面积为12，BD=3， ∴h=8，
∴△ACE的面积为：
=28．
【点评】本题考查了两平行线之间的距离，解决本题的关键是根据两平行线间的距离相等求出高．
6．（1）如图①，如果直线l1∥l2，那么三角形ABC与三角形A′BC面积相等吗？为什么？ （2）如图②，平行四边形ABCD与平行四边形AB′C′D有一条公共边AD，BC和B′C′在同一直线上，这两个平行四边形的面积相等吗？为什么？
【分析】（1）△ABC和△A′BC的底边都为BC，由于平行线间的距离处处相等，所以△ABC和△A′BC的BC边上的高相等，所以△ABC和△DBC的面积相等．
（2）平行四边形ABCD与平行四边形AB′C′D有一条公共边AD，四边形ABCD为平行四边形，所以AD∥BC，由于平行线间的距离处处相等，所以平行四边形ABCD与平行四边形AB′C′D的高相等，即可解答． 【解答】解：（1）相等； ∵L1∥L2，
∴L1，L2之间的距离是固定的，
∴△ABC和△A′BC的BC边上的高相等， ∴△ABC和△A′BC的面积相等； （2）∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，
∴AD和BC之间的距离是固定的， ∵BC和B′C′在同一直线上，
∴平行四边形ABCD与平行四边形AB′C′D公共边AD边上的高相等， ∴平行四边形ABCD与平行四边形AB′C′D面积相等． 【点评】此题主要考查了平行线间的距离．解决本题的关键是明确平行线间的距离处处相等． 7．（2016春?平定县期末）如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P 在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．
（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；
（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；
（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明．
【分析】此题三个小题的解题思路是一致的，过P作直线l1、l2的平行线，利用平行线的性质得到和∠1、∠2相等的角，然后结合这些等角和∠3的位置关系，来得出∠1、∠2、∠3的数量关系．
【解答】证明：（1）过P作PQ∥l1∥l2， 由两直线平行，内错角相等，可得： ∠1=∠QPE、∠2=∠QPF； ∵∠3=∠QPE+∠QPF， ∴∠3=∠1+∠2．
（2）关系：∠3=∠2﹣∠1； 过P作直线PQ∥l1∥l2，
则：∠1=∠QPE、∠2=∠QPF； ∵∠3=∠QPF﹣∠QPE， ∴∠3=∠2﹣∠1．
（3）关系：∠3=360°﹣∠1﹣∠2． 过P作PQ∥l1∥l2；
同（1）可证得：∠3=∠CEP+∠DFP； ∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°， ∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2=360°， 即∠3=360°﹣∠1﹣∠2．
【点评】此题主要考查的是平行线的性质，能够正确地作出辅助线，是解决问题的关键． 8．（2016春?滑县期中）如图所示，已知AB∥CD，分别探究下面图形中∠APC，∠PAB，∠PCD的关系，请你从四个图形中任选一个，说明你所探究的结论的正确性． ①结论：（1） ∠APC+∠PAB+∠PCD=360° （2） ∠APC=∠PAB+∠PCD （3） ∠PCD=∠APC+∠PAB
（4） ∠PAB=∠APC+∠PCD ②选择结论 （1） ，说明理由．
【分析】①（1）过点P作PE∥AB，则AB∥PE∥CD，再根据两直线平行同旁内角互补即可解答；
（2）过点P作l∥AB，则AB∥CD∥l，再根据两直线内错角相等即可解答；
（3）根据AB∥CD，可得出∠PEB=∠PCD，再根据三角形外角的性质进行解答；
（4）根据AB∥CD，可得出∠PAB=∠PFD，再根据∠PFD是△CPF的外角，由三角形外角的性质进行解答；
②选择①中任意一个进行证明即可．
【解答】解：①（1）过点P作PE∥AB，则AB∥PE∥CD， ∴∠1+∠PAB=180°， ∠2+∠PCD=180°，
∴∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；
（2）过点P作直线l∥AB， ∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠PAB=∠3，∠PCD=∠4， ∴∠APC=∠PAB+∠PCD；
（3）∵AB∥CD， ∴∠PEB=∠PCD，
∵∠PEB是△APE的外角， ∴∠PEB=∠PAB+∠APC， ∴∠PCD=∠APC+∠PAB；
（4）∵AB∥CD， ∴∠PAB=∠PFD，
∵∠PFD是△CPF的外角， ∴∠PCD+∠APC=∠PFD，
∴∠PAB=∠APC+∠PCD．
②选择结论（1），证明同上．
【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，能根据题意作出辅助线，再利用平行线的性质进行解答是解答此题的关键． 9．（2016春?威海期中）如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P=90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F
（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为 ∠PFD+∠AEM=90° ；
（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM=90°；
（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON=30°，∠PEB=15°，求∠N的度数．
【分析】（1）由平行线的性质得出∠PFD=∠1，∠2=∠AEM，即可得出结果； （2）由平行线的性质得出∠PFD+∠1=180°，再由角的互余关系即可得出结果；
（3）由角的互余关系求出∠PHE，再由平行线的性质得出∠PFC的度数，然后由三角形的外角性质即可得出结论． 【解答】解：（1）作PG∥AB，如图①所示： 则PG∥CD，
∴∠PFD=∠1，∠2=∠AEM， ∵∠1+∠2=∠P=90°，
∴∠PFD+∠AEM=∠1+∠2=90°， 故答案为：∠PFD+∠AEM；
（2）证明：如图②所示： ∵AB∥CD，
∴∠PFD+∠BHF=180°， ∵∠P=90°，
∴∠BHF+∠2=90°， ∵∠2=∠AEM，
∴∠BHF=∠PHE=90°﹣∠AEM， ∴∠PFD+90°﹣∠AEM=180°， ∴∠PFD﹣∠AEM=90°； （3）如图③所示： ∵∠P=90°，
∴∠PHE=90°﹣∠FEB=90°﹣15°=75°， ∵AB∥CD，
∴∠PFC=∠PHE=75°， ∵∠PFC=∠N+∠DON， ∴∠N=75°﹣30°=45°．
【点评】本题考查了平行线的性质、角的互余关系；熟练掌握平行线的性质，弄清角之间的数量关系是解决问题的关键． 10．（2015秋?渠县期末）如图，AB∥CD，∠CDE=121°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF=140°，求∠F的度数．
【分析】先根据平行线的性质求出∠AED与∠DEB的度数，再由角平分线的性质求出∠DEF的度数，进而可得出∠GEF的度数，再根据三角形外角的性质即可得出结论． 【解答】解：∵AB∥CD，∠CDE=121°， ∴∠AED=180°﹣121°=59°，∠DEB=121°． ∵GF交∠DEB的平分线EF于点F， ∴∠DEF=×121°=60.5°，
∴∠GEF=59°+60.5°=119.5°． ∵∠AGF=140°，
∴∠F=∠AGF﹣∠GEF=140°﹣119.5°=20.5°．
【点评】本题考查的是平行线的性质、角平分线的定义、三角形的外角性质；熟记两直线平行，同旁内角互补，内错角相等是解决问题的关键． 11．（2015春?武安市期末）探索：小明和小亮在研究一个数学问题：已知AB∥CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A，∠C的数量关系． 发现：在图1中，小明和小亮都发现：∠APC=∠A+∠C；
小明是这样证明的：过点P作PQ∥AB
∴∠APQ=∠A（ 两直线平行，内错角相等 ） ∵PQ∥AB，AB∥CD．
∴PQ∥CD（ 平行于同一直线的两直线平行 ） ∴∠CPQ=∠C
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C 即∠APC=∠A+∠C
小亮是这样证明的：过点作PQ∥AB∥CD． ∴∠APQ=∠A，∠CPQ=∠C ∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C 即∠APC=∠A+∠C
请在上面证明过程的过程的横线上，填写依据；两人的证明过程中，完全正确的是 小明的证法 ． 应用：
在图2中，若∠A=120°，∠C=140°，则∠P的度数为 100° ； 在图3中，若∠A=30°，∠C=70°，则∠P的度数为 40° ；
拓展：
在图4中，探索∠P与∠A，∠C的数量关系，并说明理由．
【分析】过点P作AB的平行线，用相似的证明方法运用平行线的性质进行证明即可． 【解答】解：如图1，过点P作PQ∥AB， ∴∠APQ=∠A（两直线平行，内错角相等） ∵PQ∥AB，AB∥CD．
∴PQ∥CD（平行于同一直线的两直线平行） ∴∠CPQ=∠C
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C 即∠APC=∠A+∠C，
故两人的证明过程中，完全正确的是小明的证法； 如图2，过点P作PE∥AB，
∴∠APE+∠A=180°，∠A=120°，∴∠APE=60°， ∵PE∥AB，AB∥CD．
∴PE∥CD（平行于同一直线的两直线平行） ∴∠CPE+∠C=180°，∠C=140°，∴∠CPE=40°， ∴∠APC=∠APE+∠CPE =100°；
如图3，过点P作PF∥AB， ∴∠APF=∠A，
∵PF∥AB，AB∥CD． ∴PF∥CD， ∴∠CPF=∠C
∴∠CPF﹣∠APF=∠C﹣∠A 即∠APC=∠C﹣∠A=40°； 如图4，过点P作PG∥AB，
∴∠APG+∠A=180°，∴∠APG=180°﹣∠A ∵PG∥AB，AB∥CD， ∴PG∥CD，（平行于同一直线的两直线平行） ∴∠CPG+∠C=180°，∴∠CPG=180°﹣∠C ∴∠APC=∠CPG﹣∠APG=∠A﹣∠C．
【点评】本题考查的是平行线的性质，掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行同旁内角互补是解题的关键． 12．（2015春?江西校级期中）已知AD∥BC，AB∥CD，E为射线BC上一点，AE平分∠BAD．
（1）如图1，当点E在线段BC上时，求证：∠BAE=∠BEA．
（2）如图2，当点E在线段BC延长线上时，连接DE，若∠ADE=3∠CDE，∠AED=60°． ①求证：∠ABC=∠ADC； ②求∠CED的度数．
【分析】（1）根据角平分线的性质可得∠BAE=∠EAD，根据平行线的性质可得∠AEB=∠EAD，等量代换即可求解；
（2）①先证明四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可求解；
②根据∠ADE=3∠CDE，设∠CDE=x°，∠ADE=3x°，∠ADC=2x°，根据平行线的性质得出方程90﹣x+60+3x=180，求出x即可． 【解答】（1）证明：∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠EAD， ∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EAD， ∴∠BAE=∠BEA；
（2）①证明：∵AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC=∠ADC；
②解：∵∠ADE=3∠CDE，设∠CDE=x°， ∴∠ADE=3x°，∠ADC=2x°， ∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∴∠DAB=180°﹣2x°，
∵∠DAE=∠BAE=∠BEA=90°﹣x°， 又∵AD∥BC，
∴∠BED+∠ADE=180°， ∵∠AED=60°，
即90﹣x+60+3x=180，
∴∠CDE=x°=15°，∠ADE=45°， ∵AD∥BC，
∴∠CED=180°﹣∠ADE=135°．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，用了方程的思想，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键． 13．（2015秋?连云港校级月考）探究题：
（1）如图1，若AB∥CD，则∠B+∠D=∠E，你能说明理由吗？
（2）反之，若∠B+∠D=∠E，直线AB与直线CD有什么位置关系？简要说明理由． （3）若将点E移至图2的位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？直接写出结论． （4）若将点E移至图3的位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？直接写出结论． （5）在图4中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D之间有何关系？直接写出结论． 【分析】（1）首先作EF∥AB，根据AB∥CD，可得EF∥CD，据此分别判断出∠B=∠1，∠D=∠2，即可判断出∠B+∠D=∠E，据此解答即可．
（2）首先作EF∥AB，即可判断出∠B=∠1；然后根据∠E=∠1+∠2=∠B+∠D，可得∠D=∠2，据此判断出EF∥CD，再根据EF∥AB，可得AB∥CD，据此判断即可．
（3）首先过E作EF∥AB，即可判断出∠BEF+∠B=180°，然后根据EF∥CD，可得∠D+∠DEF=180°，据此判断出∠E+∠B+∠D=360°即可．
（4）首先根据AB∥CD，可得∠B=∠BFD；然后根据∠D+∠E=∠BFD，可得∠D+∠E=∠B，据此解答即可．
（5）首先作EM∥AB，FN∥AB，GP∥AB，根据AB∥CD，可得∠B=∠1，∠2=∠3，∠4=∠5，∠6=∠D，所以∠1+∠2+∠5+∠6=∠B+∠3+∠4+∠D；然后根据∠1+∠2=∠E，∠5+∠6=∠G，∠3+∠4=∠F，可得∠E+∠G=∠B+∠F+∠D，据此判断即可．
【解答】解：（1）如图1，作EF∥AB，∵AB∥CD， ∴∠B=∠1，
，
∵AB∥CD，EF∥AB， ∴EF∥CD， ∴∠D=∠2，
∴∠B+∠D=∠1+∠2， 又∵∠1+∠2=∠E， ∴∠B+∠D=∠E．
（2）如图2，作EF∥AB，∵EF∥AB， ∴∠B=∠1，
∵∠E=∠1+∠2=∠B+∠D， ∴∠D=∠2， ∴EF∥CD， 又∵EF∥AB， ∴AB∥CD．
，
（3）如图3，过E作EF∥AB，∵EF∥AB，
∴∠BEF+∠B=180°， ∵EF∥CD，
∴∠D+∠DEF=180°， ∵∠BEF+∠DEF=∠E，
∴∠E+∠B+∠D=180°+180°=360°．
，
（4）如图4，∵AB∥CD， ∴∠B=∠BFD，
∵∠D+∠E=∠BFD， ∴∠D+∠E=∠B．
，
（5）如图5，作EM∥AB，FN∥AB，GP∥AB，，
又∵AB∥CD，
∴∠B=∠1，∠2=∠3，∠4=∠5，∠6=∠D， ∴∠1+∠2+∠5+∠6=∠B+∠3+∠4+∠D；
∵∠1+∠2=∠E，∠5+∠6=∠G，∠3+∠4=∠F， ∴∠E+∠G=∠B+∠F+∠D． 【点评】此题主要考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．（2）定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．（3）定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等． 14．（2015秋?连云港校级月考）如图，已知OA∥BE，OB平分∠AOE，∠4=∠5，∠2与∠3互余；那么DE和CD有怎样的位置关系？为什么？
【分析】猜想到DE⊥CD，只须证明∠6=90°即可．利用平行线的性质、角平分线的性质以及等量代换可以证得∠2=∠5；然后根据外角定理可以求得∠6=∠2+∠3=90°，即DE⊥CD． 【解答】解：DE⊥CD，理由如下： ∵OA∥BE（已知），
∴∠1=∠4（两直线平行，内错角相等）； 又∵OB平分∠AOE， ∴∠1=∠2； 又∵∠4=∠5，
∴∠2=∠5（等量代换）； ∴DE∥OB（已知），
∴∠6=∠2+∠3（外角定理）； 又∵∠2+∠3=90°， ∴∠6=90°， ∴DE⊥CD．
【点评】本题考查了垂线、平行线的判定与性质．解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
15．（2015秋?连云港校级月考）（1）根据下列叙述填依据：
已知：如图①，AB∥CD，∠B+∠BFE=180°，求∠B+∠BFD+∠D的度数． 解：因为∠B+∠BFE=180°
所以AB∥EF（ 同旁内角互补，两直线平行 ） 因为AB∥CD（ 已知 ）
所以CD∥EF（ 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行 ） 所以∠CDF+∠DFE=180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ） 所以∠B+∠BFD+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD+∠
D=360°
（2）根据以上解答进行探索，如图②，AB∥EF，∠BDF与∠B、∠F有何数量关系
（3）你能探索处图③、图④两个图形中，∠BDF与∠B、∠F的数量关系吗？请写出来． 【分析】（1）根据平行线的性质和判定填空即可；
（2）过点D作AB的平行线DC，根据两直线平行，内错角相等证明即可； （3）与（2）的证明方法类似，可以求出∠BDF与∠B、∠F的数量关系． 【解答】解：因为∠B+∠BFE=180°，
所以AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行 ）， 因为AB∥CD（已知），
所以CD∥EF（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行）， 所以∠CDF+∠DFE=180°（两直线平行，同旁内角互补）， 所以∠B+∠BFD+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD+∠D=360°； （2）过点D作AB的平行线DC， 因为AB∥EF， 所以∠B=∠BDC， 因为AB∥EF， 所以CD∥EF， 所以∠F=∠FDC， 所以∠BDF=∠B+∠F
（3）过点D作AB的平行线DC，
根据平行线的性质可以证明图③∠BDF+∠B=∠F；图④∠BDF+∠B=∠F．
【点评】本题考查的是平行线的性质和判定，正确作出辅助线是解题的关键．解答本题时，注意类比思想的运用． 16．（2014春?路北区期末）已知直线AB∥CD，
（1）如图1，点E在直线BD上的左侧，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是 ∠ABE+∠CDE=∠BED ．
（2）如图2，点E在直线BD的左侧，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，直接写出∠BFD和∠BED的数量关系是 ∠BFD=∠BED ．
（3）如图3，点E在直线BD的右侧BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？请说明理由．
【分析】（1）首先作EF∥AB，根据直线AB∥CD，可得EF∥CD，所以∠ABE=∠1，∠CDE=∠2，据此推得∠ABE+∠CDE=∠BED即可．
（2）首先根据BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，推得∠ABF+∠CFD=（∠ABE+∠CDE）；然后由（1），可得∠BFD=∠ABF+∠CFD，∠BED=∠ABE+∠CDE，据此推得∠BFD=∠BED． （3）首先过点E作EG∥CD，再根据AB∥CD，EG∥CD，推得AB∥CD∥EG，所以∠ABE+∠BEG=180°，∠CDE+∠DEG=180°，据此推得∠ABE+∠CDE+∠BED=360°；然后根据∠BFD=∠ABF+∠CDF，以及BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，推得2∠BFD+∠BED=360°即可．
【解答】解：（1）如图1，作EF∥AB，∵直线AB∥CD， ∴EF∥CD，
∴∠ABE=∠1，∠CDE=∠2，
∴∠ABE+∠CDE=∠1+∠2=∠BED， 即∠ABE+∠CDE=∠BED．
，
（2）如图2，，
∵BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE， ∴∠ABF=∠ABE，∠CFD=∠CDE，
∴∠ABF+∠CFD=∠ABE+∠CDE=（∠ABE+∠CDE） 由（1），可得
∠BFD=∠ABF+∠CFD=（∠ABE+∠CDE） ∠BED=∠ABE+∠CDE，
∴∠BFD=∠BED．
（3）如图3，过点E作EG∥CD，
∵AB∥CD，EG∥CD， ∴AB∥CD∥EG，
∴∠ABE+∠BEG=180°，∠CDE+∠DEG=180°， ∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°， 由（1）知，∠BFD=∠ABF+∠CDF， 又∵BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE， ∴∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE， ∴∠BFD=（∠ABE+∠CDE）， ∴2∠BFD+∠BED=360°．
故答案为：∠ABE+∠CDE=∠BED、∠BFD=∠BED．
，
【点评】此题主要考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．②定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．③定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 17．（2014春?滨湖区期末）如图1，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE、BE交于点E，∠CBN=100°． （1）若∠ADQ=130°，求∠BED的度数；
（2）将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，若∠ADQ=n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）．
【分析】（1）过点E作EF∥PQ，由平行线的性质及角平分线求得∠DEF和∠FEB，即可求出∠BED的度数，
（2）过点E作EF∥PQ，由平行线的性质及角平分线求得∠DEF和∠FEB，即可求出∠BED的度数， 【解答】解：（1）如图1，过点E作EF∥PQ， ∵∠CBN=100°，∠ADQ=130°， ∴∠CBM=80°，∠ADP=50°，
∵DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，
∴∠EBM=∠CBM=40°，∠EDP=∠ADP=25°， ∵EF∥PQ，
∴∠DEF=∠EDP=25°， ∵EF∥PQ，MN∥PQ， ∴EF∥MN．
∴∠FEB=∠EBM=40° ∴∠BED=25°+40°=65°；
（2）如图2，过点E作EF∥PQ， ∵∠CBN=100°， ∴∠CBM=80°，
∵DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，
∴∠EBM=∠CBM=40°，∠EDQ=∠ADQ=n°， ∵EF∥PQ，
∴∠DEF=180°﹣∠EDQ=180°﹣n°， ∵EF∥PQ，MN∥PQ， ∴EF∥MN，
∴∠FEB=∠EBM=40°，
∴∠BED=180°﹣n°+40°=220°﹣n°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，运用角平分线与平行线的性质相结合来求∠BED解题的关键． 18．（2014春?龙岗区校级期中）如图：已知AB∥DE，若∠ABC=60°，∠CDE=140°，求∠BCD的度数．
【分析】根据两直线平行，内错角相等以及三角形外角和定理即可解答． 【解答】解：反向延长DE交BC于M， ∵AB∥DE，
∴∠BMD=∠ABC=60°，
∴∠CMD=180°﹣∠BMD=120°； 又∵∠CDE=∠CMD+∠C，
∴∠BCD=∠CDE﹣∠CMD=140°﹣120°=20°．
【点评】本题考查了平行线的性质，注意此题要构造辅助线，运用了平行线的性质、邻补角的关系、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和． 19．（2013春?萧山区期末）如图，射线OA∥射线CB，∠C=∠OAB=100°．点D、E在线段CB上，且∠DOB=∠BOA，OE平分∠DOC． （1）试说明AB∥OC的理由； （2）试求∠BOE的度数； （3）平移线段AB；
①试问∠OBC：∠ODC的值是否会发生变化？若不会，请求出这个比值；若会，请找出相应变化规律．
②若在平移过程中存在某种情况使得∠OEC=∠OBA，试求此时∠OEC的度数．
【分析】（1）根据OA∥CB，得到∠OAB+∠ABC=180°，根据已知证明∠C+∠ABC=180°，证明结论；
（2）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠AOC，然后求出∠EOB=∠AOC，计算即可得解；
（3）根据两直线平行，内错角相等可得∠AOB=∠OBC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠OFC=2∠OBC，从而得解；根据三角形的内角和定理求出∠COE=∠AOB，从而得到OB、OE、OF是∠AOC的四等分线，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【解答】解：（1）∵OA∥CB， ∴∠OAB+∠ABC=180°， ∵∠C=∠OAB=100°， ∴∠C+∠ABC=180°， ∴AB∥OC
（2）∵CB∥OA，
∴∠AOC=180°﹣∠C=180°﹣100°=80°， ∵OE平分∠COF， ∴∠COE=∠EOF， ∵∠FOB=∠AOB，
∴∠EOB=∠EOF+∠FOB=∠AOC=×80°=40°； （3）①∵CB∥OA， ∴∠AOB=∠OBC， ∵∠FOB=∠AOB， ∴∠FOB=∠OBC，
∴∠OFC=∠FOB+∠OBC=2∠OBC， ∴∠OBC：∠OFC=1：2，是定值； ②在△COE和△AOB中，
∵∠OEC=∠OBA，∠C=∠OAB， ∴∠COE=∠AOB，
∴OB、OE、OF是∠AOC的四等分线， ∴∠COE=∠AOC=×80°=20°，
∴∠OEC=180°﹣∠C﹣∠COE=180°﹣100°﹣20°=60°， ∴∠OEC=∠OBA，此时∠OEC=∠OBA=60°
【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，注意：平行线的性质是：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然，此题是一道中档题目，难度适中．
20．（2012春?泸州期中）如图，AB∥CD，点M是线段EF上一点，若点N是直线CD上的一个动点（点N不与F重合）
（1）当点N在射线FC上运动时，求证：∠FMN+∠FNM=∠AEF； （2）当点N在射线FD上运动时，猜想∠FMN+∠FNM 与∠AEF有什么关系？并说明理由．
【分析】（1）由平行线的性质得出内错角相等∠AEF=∠DFM，再由三角形的外角性质即可得出结论；
（2）由平行线的性质得出内错角相等，再由三角形内角和定理即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠AEF=∠DFM，
∵∠DFM=∠FMN+∠FNM， ∴∠FMN+∠FNM=∠AEF；
（2）解：∠FMN+∠FNM+∠AEF=180°；理由如下： ∵AB∥CD，
∴∠AEF=∠MFN，
∵∠FMN+∠FNM+∠MFN=180°， ∴∠FMN+∠FNM+∠AEF=180°．
【点评】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理；熟练掌握平行线的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键． 21．（2012春?北塘区校级期中）如图，DH交BF于点E，CH交BF于点G，∠1=∠2，∠3=∠4，∠B=∠5．
试判断CH和DF的位置关系并说明理由．
【分析】根据平行线的判定推出BF∥CD，根据平行线性质推出∠5+∠BED=180°，求出∠B+∠BED=180°，推出BC∥HD，推出∠2=∠H，求出∠1=∠H，根据平行线的判定推出CH∥DF即可．
【解答】解：CH∥DF， 理由是：∵∠3=∠4， ∴CD∥BF，
∴∠5+∠BED=180°， ∵∠B=∠5，
∴∠B+∠BED=180°， ∴BC∥HD， ∴∠2=∠H， ∵∠1=∠2， ∴∠1=∠H， ∴CH∥DF．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，主要考查学生运用性质进行推理的能力． 22．（2011秋?泉港区期末）如图，点A、B分别在直线CM、DN上，CM∥DN． （1）如图1，连接AB，则∠CAB+∠ABD= 180° ； （2）如图2，点P1是直线CM、DN内部的一个点，连接AP1、BP1．求证：∠CAP1+∠AP1B+∠P1BD=360°； （3）如图3，点P1、P2是直线CM、DN内部的一个点，连接AP1、P1P2、P2B．试求∠CAP1+∠AP1P2+∠P1P2B+∠P2BD的度数；
（4）若按以上规律，猜想并直接写出∠CAP1+∠AP1P2+…∠P5BD的度数（不必写出过程）．
【分析】（1）直接利用平行线的性质得到两个同旁内角的和即可；
（2）过点P1作平行于CM和DN的平行线，利用同旁内角的和为180°即可得到答案； （3）过点P1、P2作平行于CM和DN的平行线，利用同旁内角的和为180°即可得到答案； （4）用上面题目得到的规律直接写出答案即可． 【解答】解：（1）∵CM∥DN． ∴∠CAB+∠ABD=180°；
（2）点P1作平行于CM和DN的平行线，
∴∠AP1E+∠CAP1=180°，∠EP1B+∠P1BD=180°，
∴∠CAP1+∠AP1B+∠P1BD=∠AP1E+∠CAB+∠EP1B+∠P1BD=180°+180°=360°；
（3）过点P1、P2作平行于CM和DN的平行线，
∴∠AP1E+∠CAP1=180°，∠EP1P2+∠P1P2F=180°，∠FP2B+∠P2BD=180°，
∴∠CAP1+∠AP1P2+∠P1P2B+∠P2BD=∠AP1E+∠CAP1+∠EP1P2+∠P1P2F+∠FP2B+∠P2BD=3×180°=540°；
（4）∠CAP1+∠AP1P2+…∠P5BD=6×180°=1080°．
【点评】本题考查了平行线的性质，解题的关键是正确的作出辅助线，利用平行线的性质进行证明． 23．（2011春?灌阳县期中）如图：AE平分∠DAC，∠DAC=120°，∠C=60°，AE与BC平行吗？为什么？
【分析】由AE平分∠DAC，∠DAC=120°，即可求得∠EAC=60°，又由∠C=60°，根据内错角相等，两直线平行即可求得AE与BC平行． 【解答】答：平行．
理由：∵∠DAC=120°，AE平分∠DAC，（4分） ∴∠EAC=60°，（5分） 又∵∠C=60°，（6分） ∴∠EAC=∠C，（7分） ∴AE与BC平行．（8分）
【点评】此题考查了平行线的判定定理与角平分线的定义．注意掌握内错角相等，两直线平行定理是解此题的关键． 24．（2011春?芗城区校级期中）根据图形及题意填空，并在括号里写上理由． 已知：如图，AD∥BC，AD平分∠EAC． 试说明：∠B=∠C
解：∵AD平分∠EAC（已知） ∴∠1=∠2（角平分线的定义） ∵AD∥BC（已知）
∴∠ 1 =∠ B （ 两直线平行，同位角相等 ） ∠ 2 =∠ C （ 两直线平行，内错角相等 ） ∴∠B=∠C．
【分析】由AD∥BC，根据两直线平行，同位角相等、内错角相等，即可求得∠1=∠B，∠2=∠C．
【解答】解：∵AD平分∠EAC，（已知） ∴∠1=∠2，（角平分线的定义） ∵AD∥BC，（已知） ∴∠1=∠B，（两直线平行，同位角相等） ∠2=∠C，（两直线平行，内错角相等） ∴∠B=∠C．
故答案为：1；B；两直线平行，同位角相等；2；C；两直线平行，内错角相等．
【点评】此题考查了平行线的性质．注意掌握两直线平行，同位角相等与两直线平行，内错角相等定理的应用是解此题的关键． 25．（2009春?鄂州校级期中）如图∠EFC+∠BDC=180°，∠AED=∠ACB，则∠DEF=∠B，为什么？
【分析】先根据∠EFC+∠BDC=180°，可知判断出∠BDC=∠DFE，再根据∠AED=∠ACB可知，DE∥BC，∠BCD=∠EDC，再由三角形内角和定理即可得出∠DEF=∠B． 【解答】解：∵∠EFC+∠BDC=180°， ∴∠BDC=∠DFE， ∴DE∥BC，
∴∠BCD=∠EDC， 在△BCD与△DEF中，
∵∠BDC=∠DFE，∠BCD=∠EDC， ∴∠DEF=∠B．
【点评】本题考查的是平行线的判定与性质及三角形内角和定理，比较简单．
26．如图，六边形ABCDEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F．求证：AF∥CD，AB∥DE，BC∥EF．
【分析】连接AC，由已知条件和六边形内角和求出∠∠BAF+∠B+∠BCD=360°，由三角形内角和定理得出∠BAC+∠B+∠ACB=180°，得出∠FAC+∠ACD=180°，即可证出AF∥CD，同理得出AB∥DE，BC∥EF．
【解答】证明：连接AC，如图所示：
∵∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，∠BAF+∠D+∠B+∠E+∠BCD+∠F=（6﹣2）180°=720°， ∴∠BAF+∠B+∠BCD=360°， ∵∠BAC+∠B+∠ACB=180°， ∴∠FAC+∠ACD=180°， ∴AF∥CD，
同理：AB∥DE，BC∥EF．
【点评】本题考查了平行线的判定、多边形内角和定理、三角形内角和定理；熟练掌握多边形内角和定理，证出∠FAC+∠ACD=180°是解决问题的关键．
27．已知，如图，直线AB∥CD，直线EF⊥AB，点M在CD上，MP平分∠GMC，PN平分∠EGM，且∠CMG+∠MGF=90°．
（1）若∠MGN=75°，∠CMG=60°，求∠MPN的度数； （2）若∠MGF=30°，∠CMG=60°，求∠MPN的度数；
（3）若点M在直线CD轴上移动，∠MPN的大小是否发生变化？如果保持不变，请给出证明；如果发生变化，请求出变化范围．
【分析】（1）首先根据∠CMG=60°，MP平分∠GMC，可得∠PMG=30°，然后根据∠MGN=75°，应用三角形的外角的性质，求出∠MPN的度数即可．
（2）首先根据∠MGF=30°，求出∠EGM=150°，再根据PN平分∠EGM，求出∠MGN的度数；然后根据∠CMG=60°，MP平分∠GMC，求出∠PMG的度数；最后应用三角形的外角的性质，求出∠MPN的度数即可． （3）当点M在直线CD上移动时，∠MPN的大小不变，都是45°，理由如下：设∠MGF=x°，则∠CMG=90﹣x°，分别求出∠MGN、∠PMG的度数，然后根据三角形的外角的性质，可得∠MGN=∠MPN+∠PMG，据此求出∠MPN的度数即可． 【解答】解：（1）∵∠CMG=60°，MP平分∠GMC， ∴∠PMG=60°÷2=30°，
∵∠MGN=75°，∠MGN=∠MPN+∠PMG， ∴∠MPN=75°﹣30°=45°．
（2）∵∠MGF=30°，
∴∠EGM=180°﹣30°=150°， ∵PN平分∠EGM，
∴∠MGN=150°÷2=75°，
∵∠CMG=60°，MP平分∠GMC， ∴∠PMG=60°÷2=30°，
∵∠MGN=75°，∠MGN=∠MPN+∠PMG， ∴∠MPN=75°﹣30°=45°．
（3）当点M在直线CD上移动时，∠MPN的大小不变，都是45°，理由如下： 设∠MGF=x°，则∠CMG=90﹣x°， ∵∠MGF=x°，
∴∠EGM=180°﹣x°， ∵PN平分∠EGM，
∴∠MGN=（180°﹣x°）÷2=90°﹣0.5x°， ∵∠CMG=90°﹣x°，MP平分∠GMC， ∴∠PMG=（90°﹣x°）÷2=45°﹣0.5x°，
∵∠MGN=90°﹣0.5x°，∠MGN=∠MPN+∠PMG， ∴∠MPN=90°﹣0.5x°﹣（45°﹣0.5x°）=45°． 【点评】（1）此题主要考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．③定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
（2）此题还考查了三角形的外角的性质和角平分线的性质和应用，要熟练掌握．
28．如图1，AB∥CD，在AB、CD内有一条折线EPF． （1）求证：∠AEP+∠CFP=∠EPF．
（2）如图2，已知∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，试探索∠EPF与∠EQF之间的关系．
（3）如图3，已知∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，则∠P与∠Q有什么关系，说明理由．
（4）已知∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，有∠P与∠Q的关系为 ∠P+n∠Q=360° ．（直接写结论）
【分析】（1）首先过点P作PG∥AB，然后根据AB∥CD，PG∥CD，可得∠AEP=∠1，∠CFP=∠2，据此判断出∠AEP+∠CFP=∠EPF即可． （2）首先由（1），可得∠EPF=∠AEP+CFP，∠EQF=∠BEQ+∠DFQ；然后根据∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，推得∠EQF=EPF+2∠EQF=360°．
（3）首先由（1），可得∠P=∠AEP+CFP，∠Q=∠BEQ+∠DFQ；然后根据∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，推得∠Q=×（360°﹣∠P），即可判断出∠P+3∠Q=360°．
（4）首先由（1），可得∠P=∠AEP+CFP，∠Q=∠BEQ+∠DFQ；然后根据∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，推得∠Q=×（360°﹣∠P），即可判断出∠P+n∠Q=360°．
，即可判断出∠
【解答】（1）证明：如图1，过点P作PG∥AB，∵AB∥CD， ∴PG∥CD，
∴∠AEP=∠1，∠CFP=∠2， 又∵∠1+∠2=∠EPF， ∴∠AEP+∠CFP=∠EPF．
，
（2）如图2，， 由（1），可得
∠EPF=∠AEP+CFP，∠EQF=∠BEQ+∠DFQ， ∵∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，
∴∠EQF=∠BEQ+∠DFQ=（∠BEP+∠DFP）=
∴∠EPF+2∠EQF=360°．
=
，
（3）如图3，，
由（1），可得
∠P=∠AEP+CFP，∠Q=∠BEQ+∠DFQ， ∵∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，
∴∠Q=∠BEQ+∠DFQ=（∠BEP+∠DFP）=[360°﹣（∠AEP+∠CFP）]=×（360°﹣∠P），
∴∠P+3∠Q=360°．
（4）由（1），可得
∠P=∠AEP+CFP，∠Q=∠BEQ+∠DFQ， ∵∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，
∴∠Q=∠BEQ+∠DFQ=（∠BEP+∠DFP）=[360°﹣（∠AEP+∠CFP）]=×（360°﹣∠P），
∴∠P+n∠Q=360°．
故答案为：∠P+n∠Q=360°． 【点评】此题主要考查了平行线的性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．（2）定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．（3）定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
29．已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点F，E，EM平∠FED，AB∥CD，H，P分别为直线AB和线段EF上的点．
（1）如图1，HM平分∠BHP，若HP⊥EF，求∠M的度数．
（2）如图2，EN平分∠HEF交AB于点N，NQ⊥EM于点Q，当H在直线AB上运动（不与点F重合）时，探究∠FHE与∠ENQ的关系，并证明你的结论．
【分析】（1）首先作MQ∥AB，根据平行线的性质，推得∠M=（∠FHP+∠HFP）；然后根据HP⊥EF，推得∠FHP+∠HFP=90°，据此求出∠M的度数即可．
（2）①首先判断出∠NEQ=∠NEF+∠QEF=（∠HEF+∠DEF）=∠HED，然后根据NQ⊥EM，可得∠NEQ+∠ENQ=90°，推得∠ENQ=（180°﹣∠HED）=∠CEH，再根据AB∥CD，推得∠FHE=2∠ENQ即可．
②首先判断出∠NEQ=∠QEF﹣∠NEF=（∠DEF﹣∠HEF）=∠HED，然后根据NQ⊥EM，可得∠NEQ+∠ENQ=90°，推得∠ENQ=（180°﹣∠HED）=∠CEH，再根据AB∥CD，推得∠FHE=180°﹣2∠ENQ即可．
【解答】解：（1）如图1，作MQ∥AB，∵AB∥CD，MQ∥AB， ∴MQ∥CD，
∴∠1=∠FHM，∠2=∠DEM，
∴∠1+∠2=∠FHM+∠DEM=（∠FHP+∠FED）=（∠FHP+∠HFP）， ∵HP⊥EF， ∴∠HPF=90°，
∴∠FHP+∠HFP=180°﹣90°=90°， ∵∠1+∠2=∠M， ∴∠M=
．
，
（2）①如图2，
∠FHE=2∠ENQ，理由如下：
，
∠NEQ=∠NEF+∠QEF=（∠HEF+∠DEF）=∠HED， ∵NQ⊥EM，
∴∠NEQ+∠ENQ=90°，
∴∠ENQ=（180°﹣∠HED）=∠CEH， ∵AB∥CD，
∴∠FHE=∠CEH=2∠ENQ．
②如图3，
∠FHE=180°﹣2∠ENQ，理由如下：
，
∠NEQ=∠QEF﹣∠NEF=（∠DEF﹣∠HEF）=∠HED， ∵NQ⊥EM，
∴∠NEQ+∠ENQ=90°，
∴∠ENQ=（180°﹣∠HED）=∠CEH，
∵AB∥CD，
∴∠FHE=180°﹣∠CEH=180°﹣2∠ENQ． 综上，可得
当H在直线AB上运动（不与点F重合）时，∠FHE=2∠ENQ或∠FHE=180°﹣2∠ENQ．
【点评】此题主要
考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．③定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
初二数学平行线难题训练
