第20讲 矩形、菱形和正方形
1．矩形、菱形、正方形的性质
矩形 菱形 正方形 边 两组对边 分别平行且相等. 两组对边分别__平行 __，四条边都__相等 两组对边分别__平行 __，四条边都__相等 角 四个角都是__直角 对角相等，邻角_互补 四个角都是_直角 对角线 ①互相平分；②相等 ①互相平分；②互相垂直；③每条对角线平分一组对角 ①互相平分；②互相垂直；③相等；④每条对角线平分一组对角 对称性 ①中心对称；②轴对称且有2条对称轴 ①中心对称；②轴对称且有2条对称轴 ①中心对称；②轴对称且有4条对称轴 面积 S＝ab(a、b表示长与宽) 1S＝mn(m、n表示两条对角线2的长) S＝a2(a表示边长) 2.矩形、菱形、正方形的判定 矩形：①有一个角是直角的平行四边形； ②对角线相等的平行四边形； ③有三个角是直角四边形； 菱形：①有一组邻边_相等_的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形；③四条边都相等的四边形； 正方形：①一组邻边相等的矩形；②有一个角是直角的菱形；③对角线 互相垂直且相等的平行四边形。
3.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系
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考点1：矩形性质与判定
【例题1】(2024湖北咸宁市)（（7分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，连接ED，EF． （1）求证：四边形DEFC是矩形；
（2）请用无刻度的直尺在图中作出∠ABC的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
【分析】（1）首先证明四边形DEFC是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断． （2）连接EC，DF交于点O，作射线BO即可．
【解答】（1）证明：∵D，E，F分别是AC，AB，BC的中点， ∴DE∥FC，EF∥CD，
∴四边形DEFC是平行四边形， ∵∠DCF＝90°， ∴四边形DEFC是矩形．
（2）连接EC，DF交于点O，作射线BO，射线BO即为所求．
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归纳：与矩形有关的计算：(1)若题目中涉及矩形的折叠，要注意折叠前后对应线段相等、对应角相等，即被折叠的角折叠之后在任何位置依旧是直角；
(2)因为矩形四个角都是直角，则想到将所求或涉及的线段放在直角三角形中，常用到勾股定理，特殊角三角函数的计算；
(3)常结合矩形对角线相等且互相平分的性质，故可根据矩形对角线的关系应用全等三角形的判定和性质或等腰三角形的性质进行求解． 考点2：菱形的性质与判定
【例题2】在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.
(1)如图1，若点E，F分别为边AB，AD的中点，连接EF，OE，OF，求证：四边形AEOF是菱形；
图1 图2
(2)如图2，若E，F分别在射线DB和射线BD上，且BE＝DF. ①求证：四边形AECF是菱形；
②若∠AEC＝60°，AE＝6，AB＝BE，求AB的长．
【点拨】(1)利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，结合四条边相等的四边形是菱形证明；(2)对于①可利用对角线互相垂直且平分的四边形是菱形进行证明，对于②可利用菱形的性质，转化到Rt△ABO中进行求解．
【解答】解：(1)证明：∵点E，F分别为AB，AD的中点， 11∴AE＝AB，AF＝AD.
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又∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AC⊥BD. ∵E，F是AB，AD的中点，∴AE＝AF＝OF＝OE. ∴四边形AEOF是菱形．
(2)①证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝OB，OA＝OC，BD⊥AC. ∵BE＝DF，∴OB＋BE＝OD＋DF，即OE＝OF.
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∴四边形AECF是菱形．
②∵四边形AECF是菱形，∴AE＝CE，AO⊥EF，∠AEO＝∠CEO. ∵∠AEC＝60°，∴∠AEO＝30°. ∵AE＝6，∴AO＝3.
∵AB＝BE，∴∠BAE＝∠AEB＝30°.∴∠ABO＝∠AEB＋∠BAE＝60°. AO3
∴在Rt△AOB中，AB＝＝＝23.
sin∠ABOsin60°
归纳：1.菱形判定的一般思路：首先判定四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的邻边相等判定是菱形，这是判定菱形的最基本思路，同时也可以考虑其他判定方法，例如若能判定平行四边形对角线垂直即可判定为菱形等；
2．应用菱形性质计算的一般思路：菱形四边相等；菱形对角线相互垂直：常借助勾股定理和锐角三角函数来求线段的长，有一个角为60°的菱形，60°所对的对角线将菱形分成两个全等的等边三角形．也可以根据菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，结合它的对称性得出的一些结论． 考点3： 正方形的性质与判定
【例题3】(2024·遵义)如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E，F分别在AB，BC上(AE＜BE)，且∠EOF＝90°，OE，DA的延长线交于点M，OF，AB的延长线交于点N，连接MN. (1)求证：OM＝ON；
(2)若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．
【解析】：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴OA＝OB，∠DAO＝∠OBA＝45°. ∴∠OAM＝∠OBN＝135°. ∵∠EOF＝∠AOB＝90°， ∴∠AOM＝∠BON. ∴△OAM≌△OBN(ASA)． ∴OM＝ON.
(2)过点O作OH⊥AD于点H. ∵正方形ABCD的边长为4， ∴OH＝HA＝2. ∵E为OM的中点，
4
∴A为HM的中点． ∴HM＝4.
∴OM＝2＋4＝25. ∴MN＝2OM＝210.
归纳： 1．证明一个四边形是正方形的方法是先证明它是矩形，再证明它是菱形；或先证明它是菱形，再证明它是矩形，其证明过程往往需要借助全等三角形．2．在正方形中求解策略是：利用正方形四个角都是直角或对角线互相垂直且平分相等，通过勾股定理求解．
注：正方形可以看作两个全等的等腰直角三角形以斜边为重合边拼接在一起．
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一、选择题：
1. （2024?南京?2分）面积为4的正方形的边长是（ ） A．4的平方根 C．4开平方的结果 【答案】B
【解答】解：面积为4的正方形的边长是故选：B．
2. （2024?浙江绍兴?4分）正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（ ）
，即为4的算术平方根；
B．4的算术平方根 D．4的立方根
A．先变大后变小 C．一直变大 【答案】D
【解答】解：∵正方形ABCD和矩形ECFG中， ∠DCB＝∠FCE＝90°，∠F＝∠B＝90°， ∴∠DCF＝∠ECB， ∴△BCE∽△FCD，
B．先变小后变大 D．保持不变
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【精选】备战2024中考数学专题复习分项提升第20讲 矩形、菱形和正方形(教师版)
