分析： 根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，然后求出∠ADB=∠CEB=90°，再根据两组角对应相等的两个三角形相似证明． 解答： 证明：在△ABC中，AB=AC，BD=CD， ∴AD⊥BC， ∵CE⊥AB， ∴∠ADB=∠CEB=90°， 又∵∠B=∠B， ∴△ABD∽△CBE． 点评： 本题考查了相似三角形的判定，等腰三角形三线合一的性质，比较简单，确定出两组对应相等的角是解题的关键．
38、（2013年佛山市）网格图中每个方格都是边长为1的正方形．
若A，B，C，D，E，F都是格点， 试说明△ABC∽△DEF．
E
D
C
F
A B
第17题图
分析：利用图形与勾股定理可以推知图中两个三角形的三条对应边成比例，由此可以证得△ABC∽△DEF． 解：证明：∵AC=ED=8， ∴
=
=
=2，
，BC=
=
，AB=4，DF=
=2
，EF=
=2
，
∴△ABC∽△DEF．
点评：本题考查了相似三角形的判定、勾股定理．相似三角形相似的判定方法有：
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形； （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
?A??C?90，39、（2013成都市）如图，点Ｂ在线段AC上，点D,E在AC同侧，BD?BE，
AD=BC.
（1）求证：AC=AD+CE;
?（2）若AD=3,CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ?DP，交直线BE于点Q.
i)若点P与A,B两点不重合，求
DP的值； PQii)当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长。（直接写出结果，不必写出解答 ）。
解析：
（1）证明：∠A=∠C=90°DB⊥BE
有∠ADB+∠ABD=90°以及∠ABD+∠EBC=90° ∴∠ADB=∠EBC 又AD=BC ∴Rt△ADB≌Rt△EBC ?AB=EC ∴AC=AB+BC=EC+AD （2）
ⅰ）连结DQ, ∠DPQ=∠DBQ=90°, ∴D,PB,Q四点共圆. 且DQ为该圆直径，那么就有∠DQP=∠DBP ∴Rt△DPQ∽Rt△DAB
DPDA3?? PQAB5
ⅱ)P到AC中点时，AP=4，AD=3，由勾股定理得DP=5 由
534DP325.DQ? 又DB?34 ??PQ?3PQ53BQ?4341234 ∴MM??BQ? MM?即为中点运动轨迹。 323
40、（2013?巴中）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B （1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．
考点： 相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质． 分析： （1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADF∽△DEC； （2）利用△ADF∽△DEC，可以求出线段DE的长度；然后在在Rt△ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度． 解答： （1）证明：∵?ABCD，∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC． ∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B， ∴∠AFD=∠C． 在△ADF与△DEC中， ∴△ADF∽△DEC． （2）解：∵?ABCD，∴CD=AB=8． 由（1）知△ADF∽△DEC， ∴，∴DE===12． ==6． 在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=点评： 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质和勾股定理三个知识点．题目难度不大，注意仔细分析题意，认真计算，避免出错． 41、（2013?徐州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上） （1）若△CEF与△ABC相似． ①当AC=BC=2时，AD的长为 ；
②当AC=3，BC=4时，AD的长为 1.8或2.5 ；
（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由．
考点： 相似三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）． 分析： （1）若△CEF与△ABC相似． ①当AC=BC=2时，△ABC为等腰直角三角形； ②当AC=3，BC=4时，分两种情况： （I）若CE：CF=3：4，如答图2所示，此时EF∥AB，CD为AB边上的高； （II）若CF：CE=3：4，如答图3所示．由相似三角形角之间的关系，可以推出∠A=∠ECD与∠B=∠FCD，从而得到CD=AD=BD，即D点为AB的中点； （2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似．可以推出∠CFE=∠A，∠C=∠C，从而可以证明两个三角形相似． 解答： 解：（1）若△CEF与△ABC相似． ①当AC=BC=2时，△ABC为等腰直角三角形，如答图1所示． 此时D为AB边中点，AD=AC=． ②当AC=3，BC=4时，有两种情况： （I）若CE：CF=3：4，如答图2所示． ∵CE：CF=AC：BC，∴EF∥BC． 由折叠性质可知，CD⊥EF，∴CD⊥AB，即此时CD为AB边上的高． 在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∴BC=5，∴cosA=． AD=AC?cosA=3×=1.8； （II）若CF：CE=3：4，如答图3所示． ∵△CEF∽△CAB，∴∠CEF=∠B． 由折叠性质可知，∠CEF+∠ECD=90°， 又∵∠A+∠B=90°， ∴∠A=∠ECD，∴AD=CD． 同理可得：∠B=∠FCD，CD=BD， ∴此时AD=AB=×5=2.5． 综上所述，当AC=3，BC=4时，AD的长为1.8或2.5． （2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似．理由如下： 如答图3所示，连接CD，与EF交于点Q． ∵CD是Rt△ABC的中线，∴CD=DB=AB，∴∠DCB=∠B． 由折叠性质可知，∠CQF=∠DQF=90°，∴∠DCB+∠CFE=90°， ∵∠B+∠A=90°，∴∠CFE=∠A， 又∵∠C=∠C，∴△CEF∽△CBA． 点评： 本题是几何综合题，考查了几何图形折叠问题和相似三角形的判定与性质．第（1）②问需要分两种情况分别计算，此处容易漏解，需要引起注意． 42、（2013?滨州）某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中BA=CD，BC=20cm，BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40cm、8cm．为使板凳两腿底端A、D之间的距离为50cm，那么横梁EF应为多长？（材质及其厚度等暂忽略不计）．
考点： 相似三角形的应用；等腰梯形的性质． 分析： 根据等腰梯形的性质，可得AH=DG，EM=NF，先求出AH、GD的长度，再由△BEM∽△BAH，可得出EM，继而得出EF的长度． 解答： 解：由题意得，MH=8cm，BH=40cm，则BM=32cm， ∵四边形ABCD是等腰梯形，AD=50cm，BC=20cm， ∴AH=（AD﹣BC）=15cm． ∵EF∥CD， ∵△BEM∽△BAH， ∴=，即=， 解得：EM=12， 故EF=EM+NF+BC=2EM+BC=44cm． 答：横梁EF应为44cm． 点评： 本题考查了相似三角形的应用及等腰梯形的性质，解答本题的关键是熟练掌握等腰梯形的性质，这些是需要我们熟练记忆的内容． 43、（2013?眉山）在矩形ABCD中，DC=2，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF．
（1）求证：△DEC∽△FDC；
（2）当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度．
2014年中考试题分类汇编相似三角形 - 图文
