等差数列专题
一、等差数列知识点回顾与技巧点拨
1．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
2．等差数列的通项公式
若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝(n－m)d＝p.
3．等差中项
如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，如果A是x和
x＋yy的等差中项，则A＝.
2
4．等差数列的常用性质
*
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N)． (2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，
*
则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N)．
*
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N)是公差为md的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (5)S2n－1＝(2n－1)an.
(6)若n为偶数，则S偶－S奇＝；
2
若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)． 5．等差数列的前n项和公式
na1＋an若已知首项a1和末项an，则Sn＝，或等差数列{an}的首项是a1，公差是d，
2nn－1则其前n项和公式为Sn＝na1＋d.
2
6．等差数列的前n项和公式与函数的关系
2?2?
7．最值问题
在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值，若a1＜0，d＞0，则Sn存在最
小值．
一个推导
利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式： Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，① Sn＝an＋an－1＋…＋a1，②
na1＋an①＋②得：Sn＝. 2
两个技巧
已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元． (1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…. (2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元． 四种方法
等差数列的判断方法
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数；
ndd?d?Sn＝n2＋?a1－?n，数列{an}是等差数列的充要条件是Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N)都成立； (3)通项公式法：验证an＝pn＋q；
2
(4)前n项和公式法：验证Sn＝An＋Bn.
注： 后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．
*
回顾：
1．已知等差数列{an}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（ ） A． 1 B． C． D． ﹣1 2．已知数列{an}的通项公式是an=2n+5，则此数列是（ ） A．以7为首项，公差为2的等差数列 B． 以7为首项，公差为5的等差数列 以5为首项，公差为2的等差数列 C．D． 不是等差数列 3．在等差数列{an}中，a1=13，a3=12，若an=2，则n等于（ ） 23 24 25 26 A．B． C． D． 4．两个数1与5的等差中项是（ ） 1 3 2 A．B． C． D． 5．（2005?黑龙江）如果数列{an}是等差数列，则（ ） A．B． C． a1+a8＞a4+a5 a1+a8＜a4+a5 a1+a8=a4+a5 D． a1a8=a4a5 考点1:等差数列的通项与前n项和
题型1：已知等差数列的某些项，求某项
【解题思路】给项求项问题，先考虑利用等差数列的性质，再考虑基本量法 【例1】已知
?an?为等差数列，a15?8,a60?20，则a75?
?a15?a1?14d?8644解：方法1：???a1?,d?
1515?a60?a1?59d?20644?74??24 1515a?a1520?84??， 方法2：?d?6060?1545154?a75?a60?(75?60)d?20?15??24
15?a75?a1?74d?方法3：令an?an?b，则??15a?b?8168?a?,b?
453?60a?b?20168??24 453?a75?75a?b?75?方法4：??an?为等差数列，
设其公差为d1，则a15为首项，a60?a15,a30,a45,a60,a75也成等差数列，
为第4项.
?a60?a15?3d1?20?8?3d?d1?4 ?a75?a60?d1?20?4?24
方法5：??an?为等差数列，?(15,a15),(60,a60),(75,a75)三点共线
a60?a15a75?a6020?8a75?20????a75?2460?1575?604515
，求ak.?an?为等差数列，am?p,an?q（m,n,k互不相等）
对应练习：1、已知
2、已知
5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为165，求这5个数.
题型2：已知前n项和Sn及其某项，求项数.
【解题思路】⑴利用等差数列的通项公式
求项数
an?a1?(n?1)d求出a1及d，代入
Sn可
n；
⑵利用等差数列的前4项和及后4项和求出
【例2】已知
a1?an，代入Sn可求项数n.
Sn为等差数列?an?的前n项和，a4?9,a9??6,Sn?63，求n
解：设等差数列的首项为
a1，公差为d，则??a1?3d?9?a1?18,d??3
?a1?8d??6?Sn?18n?这个数列的项数
4.已知
3n(n?1)?63?n1?6,n2?7 2对应练习：3、若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求
n.
Sn为等差数列?an?的前n项和，a1?1,a4?7,Sn?100，则
n? .
题型3：求等差数列的前n项和
【解题思路】（1）利用
Sn求出an，把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题.
（2）含绝对值符号的数列求和问题，要注意分类讨论.
【例3】已知
Sn为等差数列?an?的前n项和，Sn?12n?n2.
（1）
⑵求⑶求解：?a1?a2?a3；
a1?a2?a3???a10a1?a2?a3???anSn?12n?n2，
； .
?当n?1时，a1?S1?12?1?11，
当
n?2时，
an?Sn?Sn?1?(12n?n2)?12(n?1)?(n?1)2?13?2n，
当
n?1时，13?2?1?11?a1， ?an?13?2n.
由
时，
an?13?2n?0，得n?13，?当1?n?6时，an?0；当n?72an?0.
（1）⑵
a1?a2?a3?a1?a2?a3?S3?12?3?32?27；
a1?a2?a3???a10?a1?a2?a3???a6?(a7?a8?a9?a10)
?2S6?S10?2(12?6?62)?(12?10?102)?52；
3
）
（
1?n?6时，
a1?a2?a3???an?a1?a2?a3???an?12n?n2，
当
n?7时，
a1?a2?a3???an?a1?a2?a3???a6?(a7?a8???an)
?2S6?Sn?2(12?6?62)?(12n?n2)?n2?12n?72.
对应练习：5、已知
Sn为等差数列?an?的前n项和，S10?100,S100?10，求S110.
考点2 ：证明数列是等差数列
【名师指引】判断或证明数列是等差数列的方法有：
1、定义法：
列；
2、中项法：
an?1?an?d（n?N?，d是常数）??an?是等差数
2an?1?an?an?2(n?N?)??an?是等差数列；
an?kn?b（k,b是常数）??an?是等差数列； Sn?An2?Bn（A,B是常数，A?0）??an?Sn(n?N?). n3、通项公式法：
4、项和公式法：
是等差数列.
【例4】已知
Sn为等差数列?an?的前n项和，bn?求证：数列
?bn?是等差数列.
解：方法1：设等差数列
?an?的公差为d，Sn?na1?1n(n?1)d，
2?bn?Sn1?a1?(n?1)d n211d?bn?1?bn?a1?nd?a1?(n?1)d?222（常数）
?数列?bn?是等差数列.
方法2：?bn??bn?1?bn?2?bn?a1?Sn1?a1?(n?1)d， n211?a1?nd，bn?2?a1?(n?1)d
2211(n?1)d?a1?(n?1)d?2a1?nd?2bn?1， 22?数列?bn?是等差数列.
对应练习：6、设
Sn为数列?an?的前n项和，Sn?pnan(n?N?)，a1?a2.
p的值；
（1） 常数
（2） 证：数列
?an?是等差数列.
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