习题
10?1 一工字型钢梁，在跨中作用集中力F，已知l=6m，F=20kN，工字钢的型号为20a，求梁中的最大正应力。
)
F A l/2 l/2 B
解：梁内的最大弯矩发生在跨中 Mmax?30kN.m
查表知20a工字钢 Wz?237cm3
Mmax30?103??126.6?106Pa?126.6MPa 则 ?max??6Wz237?1010?2 一矩形截面简支梁，受均布荷载作用，梁的长度为l，截面高度为h，宽度为b，材料的弹性模量为E，试求梁下边缘的总伸长。
解：梁的弯矩方程为 M?x??则曲率方程为
A l 11qlx?qx2 22q B %
h 1M?x?1?112????qlx?qx? ??x?EIzEIz?22?h2h???x?2EIz12??1?qlx?qx?
2?2? 梁下边缘的线应变 ??x??h 下边缘伸长为 ?l???x?dx?002EIz?l?l12?ql3?1 ?qlx?qx?dx?2222Ebh??<
10?3 已知梁在外力作用下发生平面弯曲，当截面为下列形状时，试分别画出正应力沿
横截面高度的分布规律。
解：各种截面梁横截面上的正应力都是沿高度线性分布的。中性轴侧产生拉应力，另一
侧产生压应力。
10?4 一对称T形截面的外伸梁，梁上作用均布荷载，梁的尺寸如图所示，已知l=1.5m,q=8KN/m，求梁中横截面上的最大拉应力和最大压应力。
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q A 解：
1、设截面的形心到下边缘距离为y1
l B （10cm 4cm C
8cm 4cm
4?8?4?10?4?10?7.33cm
4?8?10?4 则形心到上边缘距离 y2?12?7.33?4.67cm
则有 y1?于是截面对中性轴的惯性距为
?
?4?83?10?432?2?4??? Iz?? ?4?8?3.33??10?4?2.67?864.0cm?12??12?????2、作梁的弯矩图
、
0.667m
设最大正弯矩所在截面为D，最大负弯矩所在截面为E，则在D截面
MD1.778?103?7.33?10?2 ?t,max?y1??15.08?106Pa?15.08MPa
?8Iz864.0?10MD1.778?103?4.67?10?26 ?c,max?y2??9.61?10Pa?9.61MPa ?8Iz864.0?10在E截面上
ME1.0?103?4.67?10?26 ?t,max?y2??5.40?10Pa?5.40MPa ?8Iz864.0?10ME1.0?103?7.33?10?2 ?c,max?y1??8.48?106Pa?8.48MPa ?8Iz864.0?10 所以梁内?t,max?15.08MPa，?c,max?9.61MPa
{
10?5 一矩形截面简支梁，跨中作用集中力F，已知l=4m，b=120mm，h=180mm，弯曲时材料的许用应力[σ]=10Mpa，求梁能承受的最大荷载Fmax。
`
F A B l/2 l/2 b
h
解：梁内的最大弯矩发生在跨中 Mmax?Fl 4bh2矩形截面梁 Wz?
6MmaxFlbh2???? 得 ???? 则由 ?max? Wz462bh22?0.12?0.1826?10?10??6480N 即 F????3l3?410?6 由两个28a号槽钢组成的简支梁，如图所示，已知该梁材料为Q235钢，其许用弯曲正应力[σ]=170Mpa，求梁的许可荷载[F]。
.
?F A 2m F F B
2m 2m
解：作弯矩图
|
3F 4F 3F 梁内的最大弯矩发生在跨中 Mmax?4F
IzIz'矩形截面梁 Wz???2Wz'?680.656cm3
ymaxymax 则由 ?max? 即
10?7 圆形截面木梁，梁上荷载如图所示，已知l=3m，F=3kN，q=3kN/m，弯曲时木材的许用应力[σ]=10MPa，试选择圆木的直径d。
…
Mmax???? 得 4F????Wz Wz???WzF?4170?106?680.656?10?6??28927N
4F A B l/3 q C l d
解：作弯矩图
、
1.167m
则由 ?max?MmaxM???? 得 Wz?max Wz???3?103? 即 ，得d?0.145m?145mm 3210?10610?8 起重机连同配重等重P=50kN，行走于两根工字钢所组成的简支梁上，如图所示。起重机的起重量F=10kN，梁材料的许用弯曲应力[σ]=170Mpa，试选择工字钢的型号。设全部荷载平均分配在两根梁上。
/
?d3F A C P 1m 1m ￥D 4m B
解：设起重机左轮距A端为x，则有
22 MC?50?6x，MD??6x?38x?80
从而确定出 MCmax?104.2kN.m，MDmax?140.2kN.m 即梁内出现的最大弯矩为140.2kN.m
Mmax140.2?103Mmax??8.25?10?4m3 ???? 得 Wz?则由 ?max?6???170?10WzIzIz' 又对于本题 Wz???2Wz'
ymaxymaxWz8.25?10?4??4.125?10?4m3?412.5cm3 所以W?22'z 查表选 25b号工字钢。
10?9 两个矩形截面的简支木梁，其跨度、荷载及截面面积都相同，一个是整体，另一个是由两根方木叠置而成，试分别计算二梁中的最大正应力。
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(
q A 解：
1、第一种情况
l B
a 2a a a a
ql2 梁内的最大弯矩发生在跨中 Mmax?
8bh22a3?矩形截面梁 Wz? 63Mmaxql2?33ql3 则 ?max? ??33Wz8?2a16a2、第二种情况
<
ql2 梁内的最大弯矩发生在跨中 Mmax?16bh2a3? 矩形截面梁 Wz?66
第十章-梁的应力-习题答案
