所以a＋c－1＞－b≥2ac ∴ (a?c)2＞1 ∴
a?c＞1
于是a?c＋1＞2
∴ a＞4
证法二：设f(x)的两个根为x1，x2， 则f(x)＝a(x－x1)(x－x2) f⑴＝a(1－x1)(1－x2)＞1 f(0)＝ax1x2＞1 由基本不等式 x1(1－x1)x2(1－x2)≤[
11(x1＋(1－x1)＋x2＋(1－x2))]4＝()2 44a22
∴ ≥ax1(1－x1)x2(1－x2)＞1
16∴ a2＞16 ∴ a＞4
7．解：M＝|f(x)|max＝max{|f⑴|，|f(－1)|，|f(－⑴若|－
a|≥1 (对称轴不在定义域内部) 2a)|} 2则M＝max{|f⑴|，|f(－1)|} 而f⑴＝1＋a＋b f(－1)＝1－a＋b
|f⑴|＋|f(－1)|≥|f⑴＋f(－1)|＝2|a|≥4 则|f⑴|和|f(－1)|中至少有一个不小于2
1∴ M≥2＞
2⑵|－
a|＜1 2a)|} 2M＝max{|f⑴|，|f(－1)|，|f(－
a2 ＝max{|1＋a＋b|，|1－a＋b|，|－＋b|}
4a2a2 ＝max{|1＋a＋b|，|1－a＋b|，|－＋b|，|－＋b|}
441a2a2 ≥(|1＋a＋b|＋|1－a＋b|＋|－＋b|＋|－＋b|) 4441a2a2 ≥[(1＋a＋b)＋(1－a＋b)－(－＋b)－(－＋b)] 444
1a2 ＝(2?)
42 ≥
1 2综上所述，原命题正确.
8．⑴解：原方程化为(x＋8)2001＋(x＋8)＋x2001＋x＝0 即(x＋8)2001＋(x＋8)＝(－x)2001＋(－x) 构造函数f(x)＝x2001＋x
原方程等价于f(x＋8)＝f(－x)
而由函数的单调性可知f(x)是R上的单调递增函数 于是有x＋8＝－x x＝－4为原方程的解
⑵两边取以2为底的对数得
log22x?4x2?1x2?1?(x2?1)2?1?(x?1)2即log2(2x?4x2?1)?log2(x2?1?(x2?1)2?1)?x2?2x?1 即log2(2x?4x2?1)?2x?log2(x2?1?(x2?1)2?1)?(x2?1)构造函数f(x)?log2(x?x2?1)?x于是f(2x)＝f(x2＋1)
易证：f(x)世纪函数，且是R上的增函数， 所以：2x＝x2＋1 解得：x＝1
9．解：由已知，方程f(x)＝x已知有三个解，设第四个解为m， 记 F(x)＝f(x)－x＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－m) ∴ f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－m)＋x f⑷＝6(4－m)＋4 f(0)＝6m
1∴ [f⑷＋f(0)]＝7
410．证明：配方得：
51f(x)＝x2(x－2)2＋(x－1)2－
22 ＝x2(x－2)2＋ ＝(x2－2x)2＋
51(x－1)2－1＋ 2251(x－1)2－1＋ 2251(x－1)2－1＋ 2251(x－1)2－1＋ 22 ＝[(x－1)2－1]2＋
＝(x－1)4－2(x－1)2＋1＋
＝(x－1)4＋ ≥
1 211(x－1)2＋ 22§5二次函数(1)
二次函数是最简单的非线性函数之一，而且有着丰富内涵。在中学数学数材中，对二次函数
和二次方程，二次三项式及二次不等式以及它们的基本性质，都有深入和反复的讨论与练习。它
对近代数学，乃至现代数学，影响深远，为历年来高考数学考试的一项重点考查内容，历久不衰，以它为核心内容的重点试题，也年年有所变化，不仅如此，在全国及各地的高中数学竞赛中，有关二次函数的内容也是非常重要的命题对象。因此，必须透彻熟练地掌握二次函数的基本性质。 学习二次函数的关键是抓住顶点（-b/2a，(4ac-b/4a），顶点的由来体现了配方法222)22
（y=ax+bx+c=a(x+b/2a)+(4ac-b/4a）；图象的平移归结为顶点的平移（y=ax→y=a(x-h)+k）；函数的对称性（对称轴x=-b/2a，f (-b/2a+x)=f (-b/2a-x)，x?R），单调区间（-∞，-b/2a），
2)2
[-b/2a,+∞]、极值（(4ac-b/4a），判别式（Δb-4ac）与X轴的位置关系（相交、相切、相离）等，全都与顶点有关。 一、“四个二次型”概述
（一元）二次函数 → 2y=ax+bx+c (a≠0) ↑ ↑
（一元）一次函数 y=bx+c(b≠0) ↑ ↑
a=0
→
一次二项式 bx+c(b≠0) ↓ ↓ 一元一次方程 bx+c=0(b≠0) ↓ ↓ ↓
2)
a=0 →
（一元）二次三项式
→ 2
ax+bx+c(a≠0)
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
a=0
→
一元二次方程 → 2ax+bx+c=0(a≠0) ↓
一元二次不等式 2
ax+bx+c>0或 2
ax+bx+c<0(a≠0)
→
a=0
→
↓
一元一次不等式 bx+c>0或 bx+c<0(b≠0) 观察这个框图，就会发现：在a≠0的条件下，从二次三项式出发，就可派生出一元二
次函数，一元二次方程和一元二次不等式来。故将它们合称为“四个二次型”。其中二次三项式22ax+bx+c(a≠0)像一颗心脏一样，支配着整个“四个二次型”的运动脉络。而二次函数y=ax+bx+c(a≠0)，犹如“四个二次型”的首脑或统帅：它的定义域即自变量X的取值范围是全体实数，即n
22
?R；它的解析式f(x)即是二次三项式ax+bx+c(a≠0)；若y=0，即ax+bx+c=0（a≠0），就是初
22
中重点研究的一元二次方程；若y>0或y<0，即ax+bx+c>0或ax+bx+c<0（a≠0），就是高中一年级重点研究的一元二次不等式，它总揽全局，是“四个二次型”的灵魂。讨论零值的一元二次函数即一元二次方程是研究“四个二次型”的关键所在，它直接影响着两大主干：一元二次方程和一元二次不等式的求解。一元二次方程的根可看作二次函数的零点；一元二次不等式的解集可看作二次函数的正、负值区间。心脏、头脑、关键、主干、一句话，“四个二次型”联系密切，把握它们的相互联系、相互转化、相互利用，便于寻求规律，灵活运用，使学习事半功倍。 二、二次函数的解析式
上面提到，“四个二次型”的心脏是二次三项式：二次函数是通过其解析式来定义的（要特别注意二次项系数a≠0）；二次函数的性质是通过其解析式来研究的。因此，掌握二次函数首先要会求解析式，进而才能用解析式去解决更多的问题。
y=ax+bx+c(a≠0)中有三个字母系数a、b、c，确定二次函数的解析式就是确定字母a、b、c的取值。三个未知数的确定需要3个独立的条件，其方法是待定系数法，依靠的是方程思想及解方程组。
二次函数有四种待定形式：
1．标准式（定义式）：f(x)=ax+bx+c.(a≠0)
2
2．顶点式： f(x)=a(x-h)+k .(a≠0) 3．两根式（零点式）：f(x)=a(x-x1)(x-x2). (a≠0) 4．三点式：（见罗增儒《高中数学竞赛辅导》）
2
2
过三点A（x1,f (x1)）、B（x2,f (x2)）、C（x3,f (x3)）的二次函数可设为
f (x)=a1(x-x2)(x-x3)+a2(x-x1)(x-x3)+a3(x-x1)(x-x2)把ABC坐标依次代入，即令x=x1,x2,x3,得 f (x1)=a1(x1-x2)(x1-x3)， f (x2)=a2(x2-x1)(x2-x3)， f (x3)=a3(x3-x1)(x3-x2)
解之，得：a1=f (x1)/ (x1-x2)(x1-x3)，a2=f (x2)/ (x2-x1)(x2-x3)，a3=f (x3)/ (x3-x1)(x3-x2)
从而得二次函数的三点式为：
f(x)=[f(x1)/(x1-x2)](x1-x3)(x-x2)(x-x3)+[f(x2)/ (x2-x1)(x2-x3)](x-x1)(x-x3)+[f(x3)/(x3-x1)(x3-x2)](x-x1)(x-x2) 根据题目所给的不同条件，灵活地选用上述四种形式求解二次函数解析式，将会得心应手。
例题讲解
元素与集合的关系
1. 集合A={y|y?x?2x?4}，B={y|y?ax?2x?4a}，A?B，求实数a的取值集
合．
2. 考察所有可能的这样抛物线y?x?ax?b，它们与坐标轴各有三个不同的交点，对于每
一条这样的抛物线，过其与坐标轴的三个交点作圆．证明：所有这些圆周经过一定点．
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高中数学竞赛校本教材全套共30讲
