3. 抛物线y?x2?bx?c的顶点位于区域G?{(x,y)|0?x?1.0?y?1}内部或边界上，求
b、c的取值范围．
4. 设x=p时，二次函数f(x)有最大值5，二次函数g(x)的最小值为－2，且p＞0，f(x)
+g(x)=x?16x?13,g(p)=25．求g(x)的解析式和p值．
5. 已知0?x?1, f(x)=x?ax? (a?0),f(x)的最小值为m． （1）用a表示m；（2）求m的最大值及此时a的值．
6．函数f(x)=?3x?3x?4m?大值时自变量的值．
7．一幢k（＞2）层楼的公寓有一部电梯，最多能容纳k－1个人，现有k－1个学生同时在第一层楼乘电梯，他们中没有两人是住同一层楼的．电梯只能停一次．停在任意选择的一层．而对每一个学生而言，自已往下走一层感到一分不满意，而往上走一层感到2分不满意，问电梯停在哪一层，可使不满意的总分达到最小？
8．已知方程(ax?1)?a(1?x)，其中a＞1，证明：方程的正根比1小，负根比 －1大．
2222222a29，x?[―m,1―m],该函数的最大值是25,求该函数取最4
9．若抛物线y?x2?ax?2与连接两点M（0，1），N（2，3）的线段（包括M、N两点）有两个相异的交点，求a的取值范围．
10．设x1?x2?x3?x4?2，且x2＋x3＋x4?x1，证明：(x1?x2?x3?x4)2?4x1x2x3x4
11．定义在R上的奇函数f(x)，当x?0时，f(x)=－x?2x．另一个函数y=g(x)的定义域为[a,b],值域为[
211,],其中a≠b,a、b≠0．在x?[a,b]上, f(x)=g(x)．问:是否存在实数bam,使集合{(x,y)|y?g(x),x?[a,b]}?{(x,y)|y?x2?m}恰含有两个元素?
课后练习
1． 已知二次函数的图象过（－1,－6），（1，－2）和（2,3）三点，求二次函数的解析式。
2．二次函数的图象通过点（2，－5），且它的顶点坐轴为（1，－8），求它的解析式
3．已知二次函数的图象过（－2,0）和（3,0）两点，并且它的顶点的纵坐标为125/4，求它的解析式。
4．已知二次函数经过3点A（1/2，3/4）、B（－1,3）、C（2,3），求解析式。
5．当X为何值时，函数 f(x)=(x-a1)+(x-a2)+?+(x-an)取最小值。
6．已知x1,x2是方程x-(k-2)x+(k+3k+5)=0 (k为实数)的两个实数根，x1+x2的最大值是：（ ）
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（A）19； （B）18； （C）50/9 (D)不存在
7．已知f (x)=x-2x+2，在x?[t,t+1]上的最小值为g (t)，求g (t)的表达式。
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8．（1）当x+2y=1时，求2x+3y的最值；
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（2）当3x+2y=6x时，求x+y的最值。
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课后练习答案
1． [解法一]：用标准式
∵图象过三点（－1,－6）、（1，－2）、（2,3）
∴可设y=f(x)=ax2+bx+c，且有a-b+c=－6 ①，a+b+c=－2 ②，4a+2b+c=3 ③ 解之得：a=1，b=2，c=－5 ∴所求二次函数为y=x2+2x-5 [解法二]：用三点式
∵图象过三点（－1，－6），（1，－2），（2,3）
∴可设y=a1(x-x2)(x-x3)+a2(x-x1)(x-x3)+a3(x-x1)(x-x2)=(a1+a2+a3)x2－
[a1(x2+x3)+a2(x1+x3)+a3(x1+x2)]x+(a1x2x3+a2x1x3+a3x1x2)
计算可得：a1=－6/(－1－1)(－1－2)=－1， a2=－2/ (1＋1)(1－2)=1， a3=3/ (2＋1)(2－1)=1 ∴f(x)=x＋2x－5
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2． 解：∵它的顶点坐标已知
∴可设f (x)=a(x－1)2－8 ，又函数图象通过点（2，－5）， ∴a(2－1)2－8=－5 ，解之，得a=3 故所求的二次函数为：y=3(x－1)2－8 即：y=f (x)=3x2－6x－5
[评注]，以顶点坐标设顶点式a(x-h)2+k，只剩下二次项系数a为待定常数，以另一条件代入得到关于a的一元一次方程求a，这比设标准式要来得简便得多。
3． 解：∵（－2,0）和（3,0）是X轴上的两点， ∴x1＝－2，x2＝3 可设y=f(x)=a(x+2)(x-3)
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=a(x-x-6)=a[(x-1/2)-25/4]=a(x-1/2)-25/4a 它的顶点的纵坐标为－25/4a ，∴－25/4a=125/4，a=－5 故所求的二次函数为：f (x)=－5(x+2)(x-3)=－5x+5x+30
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[想一想]：本例能否用顶点式来求？
4． [分析]本例当然可用标准式、三点式求解析式，但解方程组与求a1、a2、a3计算较繁。仔细观察三点坐标特点或画个草图帮助分析，注意到三点的特殊位置，则可引出如下巧解。 [解法一]：顶点式：由二次函数的对称性可知，点B、C所连线段的中垂线x=(-1+2)/2=1/2即为图象的对称轴，从而点A（1/2，3/4）必是二次函数的顶点，故可设顶点
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式:f(x)=a(x-(1/2))+(3/4)
把B或C的坐标代入得：f(-1)=a(-3/2)+(3/4)=(9/4)a+(3/4)=3
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解得：a=1 ，∴f(x)=(x-(1/2))+3/4=x-x+1
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[解法二]由B、C的纵坐标相等可知B、C两点是函数y=f (x)与直线y=3的交点，亦即B、C两点的横坐标是方程f (x)=3即f (x)-3=0的两个根故可设零点式为： f (x)-3=a(x+1)(x-2) 把A点坐标代入，有 f (1/2)-3=a(1/2+1)(1/2-2)，即－9/4=－9/4a，a=1 从而f (x)=(x+1)(x-2)+3=x-x+1
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5.解：∵f (x)=(x-2a1x+a1)+(x-2a2x+a2)+?+(x-2anx+an)=nx-2(a1+a2?+an)x+(a1+a2+?+an)
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∴当x=((a1+a2+?+an)/n)时，f(x)有最小值。
[评注]：1994年全国普通高考命制了如下一个填空题，在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1、a2、?，an共n个数据。我们规定的所测物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其它近似值比较，a与各数据差的平方和最小，依此规定，从a1,a2,?an推出a= 读者从5的解答中，能否悟到解决此题的灵感？ 6．解：由韦达定理得：x1+x2=k-2，x1x2=k+3k+5
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∴x1＋x2＝（x1＋x2）-2x1x2=(k-2)-2(k+3k+5)
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=-k-10k-6=-(k+5)+19
如果由此得K＝-5时，（x1+x2）max=19，选（A），那就错了。为什么？已知该x1,x2是方程的两个“实数”根，即方程必须有实数根才行，而此时方程的判别式Δ?0，即
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高中数学竞赛校本教材[全套共30讲
