点的位置以及长解即可求出结论【详解】将侧面和侧面平展在一个平面上连与交点即为满足最小正四棱锥各棱长均为在平展的平面中四边形为菱形且在正
1解析：?
3【解析】 【分析】
将侧面PAB和侧面PBC平展在一个平面上，连AC，即可求出满足AM?MC最小时，点M的位置，以及AM,CM长，解VAMC，即可求出结论. 【详解】
将侧面PAB和侧面PBC平展在一个平面上， 连AC与PB交点即为满足AM?MC最小， 正四棱锥P?ABCD各棱长均为1，
在平展的平面中四边形PABC为菱形，且?PAB?60o，
AM?MC?3，在正四棱锥P?ABCD中，AC?2 222233??2AM?CM?AC144cos?AMC????. 在VACM中，
32AM?CM32?41故答案为:?.
3【点睛】
本题考查线线角，要注意多面体表面的长度关系转化为共面的长度关系，考查直观想象能力，属于中档题.
三、解答题
21．（1）证明见解析（2）【解析】 【分析】
（1）利用直线与平面垂直的判定定理证明A?E?面A?BC，再根据直线与平面垂直的性质可得A?E?BC；
（2）依题意得就是直线A?B与面BCDE所成角，延长EO交BC于H，连接A?H，在直角三角形A?EH中得A?EH?60?，在直角三角形A?EO中得A?O?3 43，在直角三角形2A?OB中得sin?A?BO?【详解】
3. 4（1）证明：∵A?E?A?B，A?E?A?C 又∵A?B?A?C?A? ∴A?E?面A?BC ∴A?E?BC.
（2）∵点A?在底面上的射影为O.
?∴AO?面BCDE
∴?A?BO就是直线A?B与面BCDE所成角. 延长EO交BC于H，连接A?H 如图：
?∵A?E?BC，AO?BC
且A?O?A?E?A? ∴BC⊥面A?EO ∴BC?EO ∵E为AD中点 ∴H为BC中点 ∵A?E?1，EH?2 由（1）知A?E?A?H ∴A?EH?60? ∴A?O?3 23∴A?O3 sin?A?BO??2?A?B24所以直线A?B与平面BCDE所成角的正弦值为【点睛】
本题考查了直线与平面垂直的判定和性质，考查了直线与平面所成角的计算，属于中档题. 22．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）【解析】
试题分析：（Ⅰ）由题意l1?平面SAB，得到所以l1?SA，同理可证l2?SA，利用线面
3 44205. 205垂直的判定定理，即可证得SA?平面ABCD；
（Ⅱ）分别以AB、AD、AS所在方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系A?xyz，求得向量EF和平面SCD的一个法向量为n，利用向量的夹角公式，即可求解直线与平面所成的角的正弦值. 试题解析：
（Ⅰ）证法1：在平面ABCD内过点C作两条直线l1，l2， 使得l1?AB，l2?AD.
因为AB?AD?A，所以l1，l2为两条相交直线.
因为平面SAB?平面ABCD，平面SAB?平面ABCD?AB，l1?平面ABCD，
uuuruuuruuuruuurrl1?AB，所以l1?平面SAB.所以l1?SA.同理可证l2?SA.又因为l1?平面ABCD，l2?平面ABCD，l1?l2?C，所以SA?平面ABCD.
证法2：在平面SAB内过点S作l1?AB，在平面SAD内过点S作l2?AD. 因为平面SAB?平面ABCD，平面SAB?平面ABCD?AB，l1?平面SAB，
l1?AB，所以l1?平面ABCD.同理可证l2?平面ABCD.而过点S作平面ABCD的垂
线有且仅有一条，所以l1与l2重合.所以l1?平面SAD.所以，直线l1为平面SAB与平面
SAD的交线.所以，直线l1与直线SA重合.所以SA?平面ABCD.
（Ⅱ）如图，分别以AB、AD、AS所在方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系A?xyz.设SA?6，则AB?2，AD?3，B?2,0,0?，C?2,3,0?，
uuuvuuuvuuuvD?0,3,0?，S?0,0,6?.
uuuv2uuuv?3?由F为SC的中点，得F?1,,3?；由BE?BC，得E?2,2,0?.所以
3?2?uuuv?uvuuuv1?uuEF???1,?,3?，SC??2,3,?6?，DC??2,0,0?.设平面SCD的一个法向量为
2??vn??x,y,z?，
vvuuu?n?SC?0?2x?3y?6z?0vuuuv则?v，即?.取z?1，则y?2，x?0.所以n??0,2,1?.
2x?0??n?DC?0?1?uuuvv?1??0?????2?3?1?uuuvvEF?n4205?2??uuuvv ?cosEF,n ?所以. EF?n12051??9?0?4?14所以，直线EF与平面SCD所成角的正弦值为4205. 20523．（1）3x?4y?23?0; （2）4x?3y?1?0. 【解析】 试题分析：
(1)首先求得中点坐标，然后求得斜率，最后利用点斜式公式即可求得直线方程； (2)利用点斜式可得直线方程为4x?3y?1?0. 试题解析： （1）
8?2?6?2?5，??2 ∴AB的中点坐标为?5,?2? 22?6?243??，∴AB的中垂线斜率为 8?2343?x?5? ∴AB的中垂线方程为3x?4y?23?0 44?x?2? ∴直线l的方程4x?3y?1?0 32. 3kAB?∴由点斜式可得y?2?（2）由点斜式y?3??24．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】 【分析】
（1）由题意可知DE P AB，从而得证；
（2）要证平面ACB1?平面DEF，转证EF?平面ACB1，即证AC?EF，EF?CB1； （3）利用等积法即可得到结果. 【详解】
（1）证明：因为三棱柱ABC?A1B1C1中，A1B1 P AB, 又因为D,E分别为AC11,B1C1的中点，所以DE P A1B1,
于是DE P AB ,
AB?平面DEF，DE?平面DEF, 所以AB P平面DEF.
(2) 在三棱柱ABC?A1B1C1中，
CC1?平面ABC，AC?平面ABC，BC?平面ABC
所以CC1?AC，CC1?BC, 又AC?BC,
BC?CC1?C，BC,CC1?平面BCC1B1,
所以AC?平面BCC1B1 ,
EF?平面BCC1B1,
所以AC?EF ,
又因为BC?CC1?2， CC1?BC， 所以侧面BCC1B1为正方形，故BC1?CB1 ,
而E,F分别为B1C1,BB1的中点，连结BC1，所以EF‖BC1, 所以EF?CB1 ，又AC?CB1?C，AC,CB1?平面ACB1, 所以EF?平面ACB1 , 又EF?平面DEF,
所以平面ACB1?平面DEF . （3） VE?ACB1?VA?ECB1?【点睛】
垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. 25．（1）m?5（2）m?4 【解析】
【试题分析】（1）先配方，?x?1???y?2??5?m，当5?m?0时是圆，即求得m的范围.（2）先求出圆心到直线的距离，然后利用勾股定理得出半径，进而得到m的值. 【试题解析】
（1）方程x?y?2x?4y?m?0可化为?x?1???y?2??5?m，
2212S?ECB1?AC? . 332222∵此方程表示圆， ∴5?m?0，即m?5．
（2）∵圆的方程化为?x?1???y?2??5?m，
22
【压轴卷】高中必修二数学下期中模拟试卷(及答案)(1)
