数学九年级上册 圆 几何综合章末训练（Word版 含解析）
一、初三数学 圆易错题压轴题（难）
1．如图，二次函数y=x2-2mx+8m的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边且OA≠OB),交y轴于点C，且经过点（m，9m）,⊙E过A、B、C三点。 （1）求这条抛物线的解析式； （2）求点E的坐标；
（3）过抛物线上一点P（点P不与B、C重合）作PQ⊥x轴于点Q，是否存在这样的点P使△PBQ和△BOC相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由
【答案】（1）y=x+2x-8（2）（-1，-
2
7171315）（3）（-8，40），（-，-），（-，-4162425） 16【解析】
分析：（1）把?m,9m?代入解析式，得：m2?2m2?8m?9m，解这个方程可求出m的值；
（2）分别令y=0和x=0，求出OA，OB，OC及AB的长，过点E作EG?x轴于点
G,EF?y轴于点F,连接CE，AE,设OF=GE=a,根据AE?CE ，列方过程求出a的值，
从而求出点E的坐标；
2（3）设点P(a, a2+2a-8)， 则PQ?a?2a?8,BQ?a?2，然后分PBQ∽CBO时
和PBQ∽BCO时两种情况，列比例式求出a的值，从而求出点P的坐标.
详解：（1）把?m,9m?代入解析式，得：m2?2m2?8m?9m 解得：m1??1,m2?0（舍去） ∴y?x2?2x?8
2（2）由（1）可得：y?x?2x?8，当y?0时，x1??4,x2?2;
∵点A在点B的左边 ∴OA?4，OB?2 ， ∴AB?OA?OB?6， 当x?0时，y??8， ∴OC?8
过点E作EG?x轴于点G,EF?y轴于点F,连接CE，则AG?,
11AB??6?3 ， 22
，则
， ，
2设
在Rt?AGE中，在
中，
CE2?EF2?CF2?1??8?a?，
∵AE?CE ，
∴9?a2?1??8?a? ，
2解得：a?7 ， 27?? ； 2?? ∴E??1，??（3）设点P?a,a2?2a?8?，
则PQ?a?2a?8,BQ?a?2， a.当?PBQ∽?CBO时，
2a2?2a?88PQCO??， ，即BQOBa?22解得：a1?0（舍去）；
a2?2（舍去）；a3??8 ，
∴P1??8,40? ；
b.当?PBQ∽?BCO时，
a2?2a?82PQBO?，即?， BQCOa?28解得：a1?2（舍去），a2??∴P2??1517；a3?? ， 44?1523??1725?,??；P3??，? ； ?416??416??1523??1725?,??，P3??，? ?416??416?P?综上所述，点P的坐标为：P1??8,40?，2?点睛：本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与坐标轴的交点，垂径定理，勾股定理，相似三角形的性质和分类讨论的数学思想，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系、相似三角形的性质是解答本题的关键.
2．在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．
（1）如图1，把△AMN沿直线MN折叠得到△PMN，设AM=x． i．若点P正好在边BC上，求x的值；
ii．在M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并求y的最大值．
（2）如图2，以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMQN．试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）i．当x=2时，点P恰好落在边BC上；ii． y=，
当x=时，重叠部分的面积最大，其值为2；（2）当x=时，⊙O与直线BC相离；x＞【解析】
时，⊙O与直线BC相切；当x＜
时，⊙O与直线BC相交．
试题分析：（1）i．根据轴对称的性质，可求得相等的线段与角，可得点M是AB中点，
即当x=AB=2时，点P恰好落在边BC上；
ii．分两种情况讨论：①当0＜x≤2时，△MNP与梯形BCNM重合的面积为△MNP的面积，根据轴对称的性质△MNP的面积等于△AMN的面积，易见y=x2
②当2＜x＜4时，如图2，设PM，PN分别交BC于E，F，由i．知ME=MB=4-x∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4，由题意知△PEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求得． （2）利用分类讨论的思想，先求的直线BC与⊙O相切时，x的值，然后得到相交，相离时x的取值范围． 试题解析：（1）i．如图1，
由轴对称性质知：AM=PM，∠AMN=∠PMN， 又MN∥BC，
∴∠PMN=∠BPM，∠AMN=∠B， ∴∠B=∠BPM， ∴AM=PM=BM，
∴点M是AB中点，即当x=AB=2时，点P恰好落在边BC上． ii．以下分两种情况讨论： ①当0＜x≤2时， ∵MN∥BC， ∴△AMN∽△ABC， ∴∴
， ，
∴AN=，
△MNP与梯形BCNM重合的面积为△MNP的面积， ∴
，
②当2＜x＜4时，如图2，
设PM，PN分别交BC于E，F，
由（2）知ME=MB=4-x， ∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4， 由题意知△PEF∽△ABC， ∴
，
∴S△PEF=（x-2）2， ∴y=S△PMN-S△PEF=∵当0＜x≤2时，y=x2， ∴易知y最大=
，
， ，
又∵当2＜x＜4时，y=
∴当x=时（符合2＜x＜4），y最大=2，
综上所述，当x=时，重叠部分的面积最大，其值为2． （2））如图3，
设直线BC与⊙O相切于点D，连接AO，OD，则AO=OD=MN． 在Rt△ABC中，BC=由（1）知△AMN∽△ABC， ∴∴MN=x ∴OD=x，
过M点作MQ⊥BC于Q，则MQ=OD=x， 在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角， ∴△BMQ∽△BCA， ∴∴BM=∴x=
，
时，⊙O与直线BC相切； ，
，AB=BM+MA=
x+x=4
，即
，
=5；
∴当x=
数学九年级上册 圆 几何综合章末训练(Word版 含解析)
