深圳深圳外国语学校数学圆 几何综合单元试卷（word版含答案）
一、初三数学 圆易错题压轴题（难）
1．如图，以A（0，3）为圆心的圆与x轴相切于坐标原点O，与y轴相交于点B，弦BD的延长线交x轴的负半轴于点E，且∠BEO＝60°，AD的延长线交x轴于点C．
（1）分别求点E、C的坐标；
（2）求经过A、C两点，且以过E而平行于y轴的直线为对称轴的抛物线的函数解析式； （3）设抛物线的对称轴与AC的交点为M，试判断以M点为圆心，ME为半径的圆与⊙A的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）点C的坐标为（－3，0）（2）y?切 【解析】
试题分析：（1）已知了A点的坐标，即可得出圆的半径和直径，可在直角三角形BOE中，根据∠BEO和OB的长求出OE的长进而可求出E点的坐标，同理可在直角三角形OAC中求出C点的坐标；
（2）已知了对称轴的解析式，可据此求出C点关于对称轴对称的点的坐标，然后根据此点坐标以及C，A的坐标用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（3）两圆应该外切，由于直线DE∥OB，因此∠MED=∠ABD，由于AB=AD，那么
∠ADB=∠ABD，将相等的角进行置换后可得出∠MED=∠MDE，即ME=MD，因此两圆的圆心距AM=ME+AD，即两圆的半径和，因此两圆外切.
试题解析：（1）在Rt△EOB中，EO?OB?cot60??23?∴点E的坐标为（－2，0）．
在Rt△COA中，OC?OA?tan?CAO?OA?tan60??3?3?3， ∴点C的坐标为（－3，0）．
（2）∵点C关于对称轴x??2对称的点的坐标为F（－1，0）， 点C与点F（－1，0）都在抛物线上． 设y?a?x?1??x?3?，用A0，3代入得
324x?3x?3（3）⊙M与⊙A外333?2， 3??3?a?0?1??0?3?，
∴a?∴y?3． 33?x?1??x?3?，即 3y?324x?3x?3． 33（3）⊙M与⊙A外切，证明如下： ∵ME∥y轴，
∴?MED??B．
∵?B??BDA??MDE， ∴?MED??MDE． ∴ME?MD．
∵MA?MD?AD?ME?AD， ∴⊙M与⊙A外切．
2．如图，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB， （1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）OA，OB分别交⊙O于点D，E，AO的延长线交⊙O于点F，若AB＝4AD，求sin∠CFE的值．
【答案】（1）见解析；（2）【解析】 【分析】
5 5（1）根据等腰三角形性质得出OC⊥AB，根据切线的判定得出即可；
（2）连接OC、DC，证△ADC∽△ACF，求出AF=4x，CF=2DC，根据勾股定理求出DC=
35x，DF=3x，解直角三角形求出sin∠AFC，即可求出答案． 5【详解】
（1）证明：连接OC，如图1，
∵OA＝OB，AC＝BC， ∴OC⊥AB， ∵OC过O，
∴直线AB是⊙O的切线； （2）解：连接OC、DC，如图2，
∵AB＝4AD，
∴设AD＝x，则AB＝4x，AC＝BC＝2x， ∵DF为直径， ∴∠DCF＝90°， ∵OC⊥AB，
∴∠ACO＝∠DCF＝90°， ∴∠OCF＝∠ACD＝90°﹣∠DCO， ∵OF＝OC， ∴∠AFC＝∠OCF， ∴∠ACD＝∠AFC， ∵∠A＝∠A， ∴△ADC∽△ACF， ∴
ACADDCx1????， AFACCF2x2∴AF＝2AC＝4x，FC＝2DC， ∵AD＝x， ∴DF＝4x﹣x＝3x，
在Rt△DCF中，（3x）2＝DC2+（2DC）2， 解得：DC＝35x， 5∵OA＝OB，AC＝BC， ∴∠AOC＝∠BOC，
∴DC?EC， ∴∠CFE＝∠AFC，
35DCx∴sin∠CFE＝sin∠AFC＝＝55．
?DF3x5【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，解直角三角形，圆心角、弧、弦之间的关系，相似三角形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，难度偏大．
3．如图，矩形ABCD中，BC＝8，点F是AB边上一点（不与点B重合）△BCF的外接圆交对角线BD于点E，连结CF交BD于点G． （1）求证：∠ECG＝∠BDC．
（2）当AB＝6时，在点F的整个运动过程中． ①若BF＝22时，求CE的长．
②当△CEG为等腰三角形时，求所有满足条件的BE的长．
（3）过点E作△BCF外接圆的切线交AD于点P．若PE∥CF且CF＝6PE，记△DEP的面积
S1为S1，△CDE的面积为S2，请直接写出的值．
S2
【答案】（1）详见解析；（2）①角形；（3）【解析】 【分析】
3944182；②当BE为10，或时，△CEG为等腰三
5557. 24（1）根据平行线的性质得出∠ABD＝∠BDC，根据圆周角定理得出∠ABD＝∠ECG，即可证得结论；
（2）根据勾股定理求得BD＝10，
①连接EF，根据圆周角定理得出∠CEF＝∠BCD＝90°，∠EFC＝∠CBD．即可得出sin∠EFC
CECD3182； ??，根据勾股定理得到CF＝62，即可求得CE＝5CFBD5②分三种情况讨论求得：
＝sin∠CBD，得出
当EG＝CG时，根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可得到∠GEC＝∠GCE＝∠ABD＝∠BDC，从而证得E、D重合，即可得到BE＝BD＝10；
当GE＝CE时，过点C作CH⊥BD于点H，即可得到∠EGC＝∠ECG＝∠ABD＝∠GDC，得到CG＝CD＝6．根据三角形面积公式求得CH＝HE，即可求得BE＝BH＋HE＝
24，即可根据勾股定理求得GH，进而求得539； 5当CG＝CE时，过点E作EM⊥CG于点M，由tan∠ECM＝＝3k，CG＝CE＝5k．得出GM＝2k，tan∠GEM＝
EM4?．设EM＝4k，则CMCM3GM2k1??，即可得到tan∠GCH＝EM4k2GH11244=．求得HE＝GH＝，即可得到BE＝BH＋HE＝；
55CH2（3）连接OE、EF、AE、EF，先根据切线的性质和垂直平分线的性质得出EF＝CE，进而证得四边形ABCD是正方形，进一步证得△ADE≌△CDE，通过证得△EHP∽△FBC，得出EH＝
110BF，即可求得BF＝6，根据勾股定理求得CF＝10，得出PE＝，根据勾股定理求得66PH，进而求得PD，然后根据三角形面积公式即可求得结果． 【详解】
（1）∵AB∥CD． ∴∠ABD＝∠BDC， ∵∠ABD＝∠ECG， ∴∠ECG＝∠BDC．
（2）解：①∵AB＝CD＝6，AD＝BC＝8， ∴BD＝62?82＝10，
如图1，连结EF，则∠CEF＝∠BCD＝90°， ∵∠EFC＝∠CBD． ∴sin∠EFC＝sin∠CBD， ∴
CECD3?? CFBD5182． 5∴CF＝BC2?BF2＝62， ∴CE＝②Ⅰ、当EG＝CG时，∠GEC＝∠GCE＝∠ABD＝∠BDC． ∴E与D重合， ∴BE＝BD＝10．
Ⅱ、如图2，当GE＝CE时，过点C作CH⊥BD于点H， ∴∠EGC＝∠ECG＝∠ABD＝∠GDC， ∴CG＝CD＝6．
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