一、选择题
1．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为( )
22
A．g(x)＝2x－3x B．g(x)＝3x－2x
22
C．g(x)＝3x＋2x D．g(x)＝－3x－2x
2
解析：选B.法一：设g(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)， 因为g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，
?a＋b＋c＝1?a＝3所以?a－b＋c＝5，解得?b＝－2，
??
??c＝0??c＝0
所以g(x)＝3x－2x，故选B.
2
法二：设g(x)＝a(x－k)＋h(a≠0)，
a＝3
2
ak＋h＝0?1?k＝2
3， 由已知得?a（1－k）＋h＝1，解得
2
??a（1＋k）2＋h＝5
2
???1??h＝－3
?1?1
所以g(x)＝3?x－?－，
?3?3
即g(x)＝3x－2x.
2
2．已知函数f(x)＝x＋(a＋1)x＋ab，若不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤4}，则a＋2b的值为( ) A．－2 B．3 C．－3 D．2
???－1＋4＝－（a＋1），?a＝－4，2
?解析：选A.依题意，－1，4为方程x＋(a＋1)x＋ab＝0的两根，所以解得?所?－1×4＝ab，?b＝1，??
以a＋2b的值为－2，故选A.
2
3．已知函数f(x)＝－2x＋bx，若对任意的实数t都有f(4＋t)＝f(4－t)，则f(－2)，f(4)，f(5)的大小关系为( )
A．f(5)>f(－2)>f(4) B．f(4)>f(5)>f(－2) C．f(4)>f(－2)>f(5) D．f(－2)>f(4)>f(5)
2
解析：选B.因为对任意的实数t都有f(4＋t)＝f(4－t)，所以函数f(x)＝－2x＋bx的图象关于直线x＝4对称，
2
所以f(－2)＝f(10)，又函数f(x)＝－2x＋bx的图象开口向下，所以函数f(x)在[4，＋∞)上是减函数，因为4<5<10，所以f(4)>f(5)>f(10)，即f(4)>f(5)>f(－2)．
2
4．(2018·南昌模拟)已知函数f(x)＝x＋ax＋b的图象过坐标原点，且满足f(－x)＝f(－1＋x)，则函数f(x)在[－1，3]上的值域为( )
?1?A．[0，12] B.?－，12? ?4?
?1??3?C．?－，12? D.?，12? ?2??4?
2
解析：选B.因为函数f(x)＝x＋ax＋b的图象过坐标原点， 所以f(0)＝0，所以b＝0.
1?211?2
因为f(－x)＝f(－1＋x)，所以函数f(x)的图象的对称轴为x＝－，所以a＝1，所以f(x)＝x＋x＝?x＋?－，2?2?4
1?11??1?所以函数f(x)在?－1，－?上为减函数，在?－，3?上为增函数，故当x＝－时，函数f(x)取得最小值－.又f(－2?24??2?
?1?1)＝0，f(3)＝12，故函数f(x)在[－1，3]上的值域为?－，12?，故选B. ?4?
22
5．(2018·衡阳模拟)若不等式x－2x＋5≥a－3a对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是( ) A．[－1，4] B．(－∞，－2]∪[5，＋∞) C．[－2，5) D．(－∞，－1]∪[4，＋∞)
2
解析：选A.令f(x)＝x－2x＋5＝(x－1)＋4, 则f(x)的最小值为4，若不等式x－2x＋5≥a－3a对任意的实数
2
x恒成立，则a－3a≤4，解得－1≤a≤4，故选A.
?25?2
6．若函数y＝x－3x－4的定义域为[0，m]，值域为?－，－4?，则m的取值范围是( )
?4??3?A．[0，4] B.?，4? ?2?
33????，＋∞C．? D.?，3? ??2??2?
325?3??3?解析：选D.二次函数图象的对称轴为x＝，且f??＝－，f(3)＝f(0)＝－4，由图得m∈?，3?. 24?2??2?
2222
二、填空题
7．已知二次函数的图象与x轴只有一个交点，对称轴为x＝3，与y轴交于点(0，3)．则它的解析式为________．
2
解析：由题意知，可设二次函数的解析式为y＝a(x－3)，又图象与y轴交于点(0，3)，
1
所以3＝9a，即a＝. 3
1122
所以y＝(x－3)＝x－2x＋3.
3312
答案：y＝x－2x＋3
3
2
8．已知函数f(x)＝x－2ax＋2a＋4的定义域为R，值域为[1，＋∞)，则a的值为________． 解析：由于函数f(x)的值域为[1，＋∞)，所以f(x)min＝1.
22
又f(x)＝(x－a)－a＋2a＋4，
2
当x∈R时，f(x)min＝f(a)＝－a＋2a＋4＝1，
2
即a－2a－3＝0，解得a＝3或a＝－1. 答案：－1或3
2
9．(2018·吉林模拟)已知函数f(x)＝x＋2ax＋3在(－∞，1]上单调递减，当x∈[a＋1，1]时，f(x)的最大值与最小值之差为g(a)，则g(a)的最小值为________．
2
解析：函数f(x)＝x＋2ax＋3的图象的对称轴是x＝－a，因为函数f(x)在(－∞，1]上单调递减，所以－a≥1，
22
即a≤－1，且函数f(x)＝x＋2ax＋3在区间[a＋1，1]上单调递减，所以f(x)max＝f(a＋1)＝(a＋1)＋2a(a＋1)＋3
22
＝3a＋4a＋4，f(x)min＝f(1)＝2a＋4，所以g(a)＝f(a＋1)－f(1)＝3a＋2a，a∈(－∞，－1]，且函数g(a)的图象的
1
对称轴为a＝－，所以g(a)在(－∞，－1]上单调递减，所以g(a)min＝g(－1)＝1.
3
答案：1
2
10．已知函数f(x)＝x＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x) 222 解析：根据函数f(x)＝x＋ax＋b≥0，得到a－4b＝0，又因为关于x的不等式f(x) 2 它的解集为(m，m＋6)，设函数g(x)＝x＋ax＋b－c的图象与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，则|x2－x1|＝m＋6－ 2222 m＝6，从而(x2－x1)＝36，即(x1＋x2)－4x1x2＝36，又因为x1x2＝b－c，x1＋x2＝－a，a－4(b－c)＝a－4b＋4c＝36， 2 代入a－4b＝0得到c＝9. 答案：9 三、解答题 2 11．已知函数f(x)＝ax＋bx＋1(a，b为实数，a≠0，x∈R)． (1)若函数f(x)的图象过点(－2，1)，且方程f(x)＝0有且只有一个根，求f(x)的表达式； (2)在(1)的条件下，当x∈[－1，2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围． 解：(1)因为f(－2)＝1，即4a－2b＋1＝1， 所以b＝2a. 因为方程f(x)＝0有且只有一个根， 2 所以Δ＝b－4a＝0. 2 所以4a－4a＝0，所以a＝1，b＝2. 2 所以f(x)＝x＋2x＋1. ?k－2?＋1－（k－2）. (2)g(x)＝f(x)－kx＝x＋2x＋1－kx＝x－(k－2)x＋1＝?x－ 2?4?? 2 2 2 2 k－2k－2 由g(x)的图象知，要满足题意，则≥2或≤－1，即k≥6或k≤0， 22 所以所求实数k的取值范围为(－∞，0]∪[6，＋∞)． 2 12．已知函数f(x)＝x＋ax＋3－a，若x∈[－2，2]时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围． 解：要使f(x)≥0恒成立，则函数在区间[－2，2]上的最小值不小于0，设f(x)的最小值为g(a)．f(x)的对称轴 a 为x＝－. 2 a (1)当－<－2，即a>4时， 2 7 g(a)＝f(－2)＝7－3a≥0，得a≤， 3 故此时a 不存在； a (2)当－∈[－2，2]，即－4≤a≤4时， 2 2 a?a?g(a)＝f?－?＝3－a－≥0，得－6≤a≤2， 4?2? 又－4≤a≤4，故－4≤a≤2； a (3)当－>2，即a<－4时， 2 g(a)＝f(2)＝7＋a≥0， 得a≥－7，又a<－4， 故－7≤a<－4， 综上得－7≤a≤2.
高三文科数学第一轮复习及练习：第2章函数的概念与基本初等函数 第4讲
