新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.2.3充分条件、必
要条件教师用书新人教B版必修第一册
1．2.3 充分条件、必要条件
考点 充分条件、必要条件的概念 学习目标 理解充分条件、必要条件、充要条件的概念 结合具体命题掌握判断充分条件、必要条件、充要条件的方法 掌握证明充要条件的一般方法 核心素养 数学抽象 充分条件、必要条件的判断 充分条件、必要条件的应用 逻辑推理 逻辑推理
问题导学
预习教材P30－P34，思考以下问题： 1．什么是充分条件？ 2．什么是必要条件？ 3．什么是充要条件？
1．充分条件与必要条件
命题真假 推出关系 条件关系 “如果p，那么q” 是真命题 “如果p，那么q” 是假命题 p?q p是q的充分条件 q是p的必要条件 p?/q p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 ■名师点拨 对于“p?q”，蕴含以下多种解释
(1)“如果p，那么q”形式的命题为真命题．
(2)由条件p可以得到结论q.
(3)p是q的充分条件或q的充分条件是p.
(4)只要有条件p，就一定有结论q，即p对于q是充分的． (5)q是p的必要条件或p的必要条件是q. (6)为得到结论q，具备条件p就可以推出．
显然，“p是q的充分条件”与“q是p的必要条件”表述的是同一个逻辑关系，即p?q，只是说法不同．
[提醒] 不能将“如果p，那么q”与“p?q”混为一谈，只有“如果p，那么q”为真命题时，才有“p?q”，即“p?q”?“如果p，那么q”为真命题．
2．充要条件
如果p?q，且q?p，就记作p?q．此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．
■名师点拨 (1)p是q的充要条件意味着“p成立，则q一定成立；p不成立，则q一定不成立”． (2)要判断p是不是q的充要条件，需要进行两次判断：一是看p能否推出q，二是看q能否推出p.若p能推出q，q也能推出p，就可以说p是q的充要条件，否则，就不能说p是
q的充要条件．
(3)对充分条件和必要条件的进一步划分：
条件p与结论q的关系 结论 p?q，且q?/ p q?p，且p ?/q p?q，且q?p，即p?q p ?/q，且q ?/ p p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件
判断正误(正确的打“√”，错误的打
“×”)
(1)“x＝0”是“(2x－1)x＝0”的充分不必要条件．( ) (2)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )
(3)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．( ) (4)q不是p的必要条件时，“p?/ q”成立．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√
设p：“四边形为菱形”，q：“四边形
的对角线互相垂直”，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.若四边形为菱形，则四边形的对角线互相垂直．即p?q；反之，当四边形的
对角线互相垂直时，该四边形不一定是菱形，故q?/ p，所以p是q的充分不必要条件．
立的( )
A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C.因为{x|－1 的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 设p：x＜3，q：－1＜x＜3，则p是q成 x|x<3}，所以p是q成立的必要不充分条件． 设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0” {
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