华中师范大学 2006 –2007 学年第一学期 ------------------ 期末考试试卷(A卷)(解答) 课程名称 实变函数 课程编号 83410014 任课教师 李工宝、何穗、刘敏思
--- -- : ----- 学号----- -- -- --- -- -- -- --- -- -- -- -- 线 -- : ----- 姓名---- --学生--- -- -- -- --- -- -- 封 : ---- ----- 年级 --- -- -- -- --- -- -- -- --- -- -- : 密 -- 专业---- -- --- -- -- -- --- -- -- -- ----- : ---- 系)----- 院(----- ----
题型 判断题 叙述题 计算题 解答题 总分 分值 15 15 10 60 100 得分 得分 评阅人 一、判断题(判断正确、错误,请在括号中填“对”或“错”。 共5小题,每题3分,共5×3=15分) 1、可数个可数集的并集是可数集。 ( 对 ) 2、可测集E上的非负可测函数必Lebesgue可积。 ( 错 ) 3、Rn上全体Lebesgue可测集所组成的集类?具有连续势。 ( 错 ) 4、非空开集的Lebesgue测度必大于零。 ( 对 ) 5、若fn(x)(n?1,2,)和f(x)都为可测集E上的可测函数,且limn??fn(x)?f(x),a.e.于E,则fn(x)?f(x),x?E。 ( 错 ) 得分 评阅人 二、叙述题 (共5小题 , 每题3分,共5×3 =15分) 1、单调收敛定理(即Levi定理) 答:设E是Lebesgue可测集,fn(x) (n?1,2,)为E上的非负可测函数,若{fn(x)}是单调递增的,记f(x)?limn??fn(x),则limn???fn(x)dx?E?f(x)dx。 E
2、Rn中开集的结构定理 答:Rn中的任一非空开集总可表示成Rn中至多可数个互不相交的半开半闭区间的并。 (或Rn中的任一开集或为空集或可表示成Rn中至多可数个互不相交的半开半闭区间的并。) 3、Rn中的集合E是Lebesgue可测集的卡氏定义(即C.Caratheodory定义) 答:设E?R,如果对任意T?R,总有 nnm*T?m*(T?E)?m*(T?Ec) 则称E为R中的Lebesgue可测集,或称E是Lebesgue可测的。 n 4、F.Riesz定理(黎斯定理) 答:设E为Lebesgue可测集,fn(x) (n?1,2,)和f(x)都是E上的几乎处处有限的可测函数, 如果fn(x)?f(x) x?E,则存在{fn(x)}的一个子列{fnk(x)},使得limfnk(x)?f(x)a.e.于E。 k?? 5、有界闭区间[a,b]上绝对连续函数的定义 答:设f(x)是定义在有界闭区间[a,b]上实函数,如果???0,存在??0,使得对[a,b]内任意有限个互不相交的开区间(?i,?i) i?1,2,n,n,只要它们的总长?(?i?1ni??i)??,总有 ?i?1f(?i)?f(?i)??。 则称f(x)是有界闭区间[a,b]上绝对连续函数。 第 1 页(共 3 页)
得分 ------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 --------------------------------------------------------- 评阅人 三、计算题(共1题,共1×10 = 10分) ??sinx,x?D0 设D0为[0,?]中的零测集,f(x)??x3 ,求 ??e,x?D0 ?[0,?]f(x)dx。 解:由题设f(x)?sinx,a.e.于[0,?],而sinx在[0,?]上连续, 于是由积分的惟一性和L积分与R积分的关系得 ?? [0,?]f(x)dx??[0,?]sinxdx?(R)?sinxdx?(?cosx)0?0?2。 得分 评阅人 nn四、解答题(共6小题,每题10分,共6×10 = 60分) F??Fk。 k?1? 1、设F为R中的F?集,证明:必存在R中的一列单调递增的闭集{F} 证明:因为F为R中的F?集,所以一列闭集{Fk}?k?1,使得 n?kk?1,使得F??Fk k?1?取Fk??Fi,由闭集的性质知Fk是闭集,且{Fk}单调递增 i?1k?1k?Fk??(?Fi)??Fk?F。 k?1i?1k?1??k?
2、证明:Rn中互不相交的开区间所构成的集族必为至多可数集。
证明:记E为Rn中互不相交的开区间所构成的集族,对任意I?E,由有理点的稠密性,I中必存在
nr?I有理点,取其中的一个有理点记为,并记,于是 B必为至多可数集。 B?{rI?E}?QII
作E到B的映射?如下:
?:E?B I??(I)?rI
由于E中任意两个不同的I1和I2不相交,所以rI1?rI2,于是?是E到B的单射(实际上还是一一映射),
n所以 E?B?Q,故E也是至多可数集。
3、设f(x)是(??,??)上的实值函数,且f(x)在(??,??)上的任一有限区间上都可测,则f(x)在
(??,??)上也可测。
?证明:因为 (??,??)??[?n,n],而f(x)是[?n,n]上的可测函数, n?1
所以 由可测函数的性质得f(x)在(??,??)上也可测。
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4、用Fubini定理证明:若f(x,y)为R=(??,+?)?(??,+?)上的非负可测函数,则 2 ------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 --------------------------------------------------------- ? ??0dx?f(x,y)dy??0x??0dy???yf(x,y)dx。 ?f(x,y),(x,y)?D证明:记D?{(x,y), }?{(x,y)},令F(x,y)??0?y?xy?x???0,(x,y)?D?由题设易知F(x,y)也是R2上的非负可测函数,于是,由非负可测函数的Fubini定理 0?x???0?y??????0dx?f(x,y)dy??0x????dx?????F(x,y)dy?R?F(x,y)dxdy ??02?? ????dy?????F(x,y)dx??dy???yf(x,y)dx。 5、设E是R中的可测集,若(1)E??Ek,其中Ek为可测集,E1?E2?k?1n?; (2)f(x),fn(x)(n?12)都是E上的可测函数,且limfn(x)?f(x) a.e.于E; n??(3)存在E上的Lebesgue可积函数F(x),使得?n,fn(x)?F(x) (x?E)。 证明:f(x)在E上也Lebesgue可积,且 limn?? En?fn(x)dx??f(x)dx。 E 证明:记fn(x)?fn(x)??En(x),由题设知limfn(x)?f(x) a.e.于E(事实上?x?E,存在n0,n??当n?n0时,总有x?En,从而?En(x)?1,于是fn(x)?fn(x)??En(x)?fn(x)。) 又 fn(x)?fn(x)??En(x)?fn(x)?F(x),F(x)在E上Lebesgue可积 所以 由Lebesgue控制收敛定理,并注意到?Efn(x)dx??fn(x)??En(x)dx?EEn?fn(x)dx可得 lim?fn(x)dx?lim?fn(x)dx??f(x)dx。 n??Enn??EE
实变函数04级期末考试题(A)(解答)
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