华中师范大学 2006 –2007 学年第一学期 ------------------ 期末考试试卷（A卷）（解答） 课程名称 实变函数 课程编号 83410014 任课教师 李工宝、何穗、刘敏思
--- -- ： ----- 学号----- -- -- --- -- -- -- --- -- -- -- -- 线 -- ： ----- 姓名---- --学生--- -- -- -- --- -- -- 封 ： ---- ----- 年级 --- -- -- -- --- -- -- -- --- -- -- ： 密 -- 专业---- -- --- -- -- -- --- -- -- -- ----- ： ---- 系）----- 院（----- ----
题型 判断题 叙述题 计算题 解答题 总分 分值 15 15 10 60 100 得分 得分 评阅人 一、判断题（判断正确、错误，请在括号中填“对”或“错”。 共5小题，每题3分，共5×3=15分） 1、可数个可数集的并集是可数集。 （ 对 ） 2、可测集E上的非负可测函数必Lebesgue可积。 （ 错 ） 3、Rn上全体Lebesgue可测集所组成的集类?具有连续势。 （ 错 ） 4、非空开集的Lebesgue测度必大于零。 （ 对 ） 5、若fn(x)（n?1，2，）和f(x)都为可测集E上的可测函数，且limn??fn(x)?f(x)，a.e.于E，则fn(x)?f(x)，x?E。 （ 错 ） 得分 评阅人 二、叙述题 (共5小题 , 每题3分，共5×3 =15分) 1、单调收敛定理（即Levi定理） 答：设E是Lebesgue可测集，fn(x) (n?1，2，)为E上的非负可测函数，若{fn(x)}是单调递增的，记f(x)?limn??fn(x)，则limn???fn(x)dx?E?f(x)dx。 E
2、Rn中开集的结构定理 答：Rn中的任一非空开集总可表示成Rn中至多可数个互不相交的半开半闭区间的并。 （或Rn中的任一开集或为空集或可表示成Rn中至多可数个互不相交的半开半闭区间的并。） 3、Rn中的集合E是Lebesgue可测集的卡氏定义（即C.Caratheodory定义） 答：设E?R，如果对任意T?R，总有 nnm*T?m*(T?E)?m*(T?Ec) 则称E为R中的Lebesgue可测集，或称E是Lebesgue可测的。 n 4、F.Riesz定理（黎斯定理） 答：设E为Lebesgue可测集，fn(x) (n?1，2，)和f(x)都是E上的几乎处处有限的可测函数， 如果fn(x)?f(x) x?E，则存在{fn(x)}的一个子列{fnk(x)}，使得limfnk(x)?f(x)a.e.于E。 k?? 5、有界闭区间[a,b]上绝对连续函数的定义 答：设f(x)是定义在有界闭区间[a,b]上实函数，如果???0，存在??0，使得对[a,b]内任意有限个互不相交的开区间(?i,?i) i?1，2，n，n，只要它们的总长?(?i?1ni??i)??，总有 ?i?1f(?i)?f(?i)??。 则称f(x)是有界闭区间[a,b]上绝对连续函数。 第 1 页(共 3 页)
得分 ------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 --------------------------------------------------------- 评阅人 三、计算题（共1题，共1×10 = 10分） ??sinx,x?D0 设D0为[0,?]中的零测集，f(x)??x3 ，求 ??e,x?D0 ?[0,?]f(x)dx。 解：由题设f(x)?sinx，a.e.于[0,?]，而sinx在[0,?]上连续， 于是由积分的惟一性和L积分与R积分的关系得 ?? [0,?]f(x)dx??[0,?]sinxdx?(R)?sinxdx?(?cosx)0?0?2。 得分 评阅人 nn四、解答题（共6小题，每题10分，共6×10 = 60分） F??Fk。 k?1? 1、设F为R中的F?集，证明：必存在R中的一列单调递增的闭集{F} 证明：因为F为R中的F?集，所以一列闭集{Fk}?k?1，使得 n?kk?1，使得F??Fk k?1?取Fk??Fi，由闭集的性质知Fk是闭集，且{Fk}单调递增 i?1k?1k?Fk??(?Fi)??Fk?F。 k?1i?1k?1??k?
2、证明：Rn中互不相交的开区间所构成的集族必为至多可数集。
证明：记E为Rn中互不相交的开区间所构成的集族，对任意I?E，由有理点的稠密性，I中必存在
nr?I有理点，取其中的一个有理点记为，并记，于是 B必为至多可数集。 B?{rI?E}?QII
作E到B的映射?如下：
?:E?B I??(I)?rI
由于E中任意两个不同的I1和I2不相交，所以rI1?rI2，于是?是E到B的单射（实际上还是一一映射），
n所以 E?B?Q，故E也是至多可数集。
3、设f(x)是(??,??)上的实值函数，且f(x)在(??,??)上的任一有限区间上都可测，则f(x)在
(??,??)上也可测。
?证明：因为 (??,??)??[?n,n]，而f(x)是[?n,n]上的可测函数， n?1
所以 由可测函数的性质得f(x)在(??,??)上也可测。
第 2 页(共 3 页)
4、用Fubini定理证明：若f(x,y)为R=(??,+?)?(??,+?)上的非负可测函数，则 2 ------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 --------------------------------------------------------- ? ??0dx?f(x,y)dy??0x??0dy???yf(x,y)dx。 ?f(x,y),(x,y)?D证明：记D?{(x,y)， }?{(x,y)}，令F(x,y)??0?y?xy?x???0,(x,y)?D?由题设易知F(x,y)也是R2上的非负可测函数，于是，由非负可测函数的Fubini定理 0?x???0?y??????0dx?f(x,y)dy??0x????dx?????F(x,y)dy?R?F(x,y)dxdy ??02?? ????dy?????F(x,y)dx??dy???yf(x,y)dx。 5、设E是R中的可测集，若（1）E??Ek，其中Ek为可测集，E1?E2?k?1n?； （2）f(x)，fn(x)(n?12)都是E上的可测函数，且limfn(x)?f(x) a.e.于E； n??（3）存在E上的Lebesgue可积函数F(x)，使得?n，fn(x)?F(x) (x?E)。 证明：f(x)在E上也Lebesgue可积，且 limn?? En?fn(x)dx??f(x)dx。 E 证明：记fn(x)?fn(x)??En(x)，由题设知limfn(x)?f(x) a.e.于E（事实上?x?E，存在n0，n??当n?n0时，总有x?En，从而?En(x)?1，于是fn(x)?fn(x)??En(x)?fn(x)。） 又 fn(x)?fn(x)??En(x)?fn(x)?F(x)，F(x)在E上Lebesgue可积 所以 由Lebesgue控制收敛定理，并注意到?Efn(x)dx??fn(x)??En(x)dx?EEn?fn(x)dx可得 lim?fn(x)dx?lim?fn(x)dx??f(x)dx。 n??Enn??EE
实变函数04级期末考试题(A)(解答)
