第一讲 极限与连续
主要内容概括（略） 重点题型讲解
一、极限问题
类型一：连加或连乘的求极限问题 1．求下列极限： （1）lim???1?11?； ?????n??1?33?5(2n?1)(2n?1)??nk3?1（2）lim?3；
n??k?2k?1（3）lim[n??1]n； ?k?1k(k?1)n2．求下列极限：
??111??； ????（1）lim?222n???4n?24n?n??4n?13．求下列极限： （1）lim??111????22n???n2?22n2?n2?n?1n??； ??（2）limn??n!； nn（3）limn???i?11。 2i?1n?n类型二：利用重要极限求极限的问题 1．求下列极限：
xxx(n?1)n?11sin（1）limcoscos2?cosn(x?0)； （2）lim；
n??n??222nnn2．求下列极限： （1）lim1?sinxx?0?121?cosx?；
（3）lim??1?tanx??x?01?sinx??1xln(1?2x)3； （4）lim?cos?；
?x???1?x?x2类型三：利用等价无穷小和麦克劳林公式求极限的问题 1．求下列极限：
etanx?ex1?tanx?1?sinx（1）lim； （2）lim；
x?0x?0x(1?cosx)x(1?cosx)（3）limx?012?cosxx11[()?1]lim(?)； ； （4）322x?03xxtanx(3?x)x?3x（5）lim；
x?0x2ln(1?（6）设limx?0f(x))sinx?A，求limf(x)。
x?0x2ax?1cosx?ex?0x3sinx?x222．求下列极限：lim
类型四：极限存在性问题：
1．设x1?1,xn?1?1?xn?0，证明数列{xn}收敛，并求limxn。
n??2．设f(x)在[0,??)上单调减少、非负、连续，an??f(k)??f(x)dx(n?1,2,?)，证明：
k?11nnliman存在。
n??类型五：夹逼定理求极限问题：
sinnxdx； 1．求lim?n??01?x12．lim(a?b?c)(a,b,c非负)；
n??nn1nn?x2?n3．limn1?x???2??(x?0)。 n????类型六：含参数的极限问题： 1．设lim(xsin3x?axx?0?3?2n?b)?0，求a,b；
?x2?1??2．设lim??ax?b)??3，求a,b； x???x?1??类型七：中值定理法求极限： 1、limn(arctann??2?n?arctan12x?1?n?1)；
2、limx(ex???212x?1?e)。
类型八：变积分限函数求极限：
x2?0ecostdt?x?21、lim。
x?0(x?tanx)(x?1?1)xt?2、设f(x)连续，且f(1)?1，则limx?11x1f(xt)dtx?13。
二、连续与间断的判断
?ln(1?x),x?0?x??1．设f(x)??0,x?0，讨论函数f(x)在x?0处的连续性。
??1?x?1?x,?1?x?0?x?11?xx?2．讨论f(x)??(2?1)(2?1),x?0在x?0处的连续性。
??1,x?0三、连续性命题的证明
1．设f(x)?C[a,??)且limf(x)存在，证明f(x)在[a,??)上有界。
x???2．设f(x)在[a,b]上连续，任取p?0,q?0，证明：存在??(a,b)，使得
pf(a)?qf(b)?(p?q))f(?)。
第二讲 微分学
第一部分 一元函数微分学
内容复习（略） 重点题型讲解
（一）与导数定义相关的问题
f(x0??h)?f(x0??h)(???0)。
h?0hf(x)?2，求f?(1)。 2．设f(x)在x?1处连续，且lim2x?1x?11．设f?(x0)存在，求lim3．设f(x)在(??,??)上有定义，对任意的x,y有f(x?y)?f(x)f(y)，且f?(0)?1，求
f(x)。
f(x)ef(x)?ex?1，f??(0)?e，则lim?______。 4．设f(x)二阶连续可导，且limx?0x?0xx25．设f(x)在(??,??)上有定义，且对任意的x有f(x?1)?2f(x)，又当x?[0,1]时，有
f(x)?x(1?x2)，讨论f(x)在x?0处的可导性。
（二）各类求导数的问题 1．设y?esin1x?1?xxe，求y?； 1?x，求y?；
(101)2．设y?e1?xarctan1?x3．y?x(x?1)(x?2)?(x?100)，求y?(0),y；
考研数学强化班高等数学讲义-汤家凤.doc
