湍流模型理论
§3.1 引言
自然界中的实际流动绝大部分是三维的湍流流动，如河流，血液流动等。湍流是流体粘性运动最复杂的形式，湍流流动的核心特征是其在物理上近乎于无穷多的尺度和数学上强烈的非线性，这使得人们无论是通过理论分析、实验研究还是计算机模拟来彻底认识湍流都非常困难。回顾计算流体力学的发展，特别是活跃的80年代，不仅提出和发展了一大批高精度、高分辨率的计算格式，从主控方程看相当成功地解决了Euler方程的数值模拟，可以说Euler方程数值模拟方法的精度已接近于它有效使用范围的极限；同时还发展了一大批有效的网格生成技术及相应的软件，具体实现了工程计算所需要的复杂外形的计算网格；且随着计算机的发展，无论从计算时间还是从计算费用考虑，Euler方程都已能适用于各种实践所需。在此基础上，80年代还进行了求解可压缩雷诺平均方程及其三维定态粘流流动的模拟。90年代又开始一个非定常粘流流场模拟的新局面，这里所说的粘流流场具有高雷诺数、非定常、不稳定、剧烈分离流动的特点，显然需要继续探求更高精度的计算方法和更实用可靠的网格生成技术。但更为重要的关键性的决策将是，研究湍流机理，建立相应的模式，并进行适当的模拟仍是解决湍流问题的重要途径。
要反映湍流流场的真实情况，目前数值模拟主要有三种方法：1.平均N-S方程的求解，2.大涡模拟（LES），3.直接数值模拟（DNS）。但是由于叶轮机械内部结构的复杂性以及目前计算机运算速度较慢，大涡模拟和直接数值模拟还很少用于叶轮机械内部湍流场的计算，更多的是通过求解平均N-S方程来进行数值模拟。因为平均N-S方程的不封闭性，人们引入了湍流模型来封闭方程组，所以模拟结果的好坏很大程度上取决于湍流模型的准确度。自70年代以来，湍流模型的研究发展迅速，建立了一系列的零方程、一方程、两方程模型和二阶矩模型，已经能够十分成功的模拟边界层和剪切层流动。但是，对于复杂的工业流动，比如航空发动机中的压气机动静叶相互干扰问题，大曲率绕流，激波与边界层相互干扰，流动分离，高速旋转以及其他一些原因，常常会改变湍流的结构，使那些能够预测简单流动的湍流模型失效，所以完善现有湍流模型和寻找新的湍流模型在实际工作中显得尤为重要。
§3.2 湍流模型概述
§3.2.1 湍流模型的引入
湍流模式理论或简称湍流模型，就是以雷诺平均运动方程与脉动运动方程为基础，依靠理论与经验的结合，引进一系列模型假设，而建立起的一组描写湍流平均量的封闭方程组。湍流运动物理上近乎无穷多尺度漩涡流动和数学上的强烈非线性，使得理论实验和数值模拟都很难解决湍流问题。虽然N-S方程能够准确地描述湍流运动地细节，但求解这样一个复杂的方程会花费大量的精力和时间。实际上往往采用平均N-S方程来描述工程和物理学问题中遇到的湍流运动。当我们对三维非定常随机不规则的有旋湍流流动的N-S方程平均后，得到相应的平均方程，此时平均方程中增加了六个未知的雷诺应力项uiuj，从而形成了湍流基本方程的不封闭问题。根据湍流运动规律以寻找附加条件和关系式从而使方程封闭就促使了几年来各种湍流模型的发展，而且在平均过程中失去了很多流动的细节信息，为了找回这些失去的流动信息，也必须引入湍流模型。目前虽然许多湍流模型已经取得了某些预报能力，但至今还没有得到一个有效的统一的湍流模型。同样，在叶轮机械内流研究中，如何找到一种更合适更准确的湍流模型也有待于进一步研究。
§3.2.2 湍流模型的发展历程
模型理论的思想可追溯到100多年前，为了求解雷诺应力使方程封闭，早期的处理方法是模仿粘性流体应力张量与变形率张量关联表达式，直接将脉动特征速度与平均运动场中速度联系起来。十九世纪后期，Boussinesq提出用涡粘性系数的方法来模拟湍流流动，通过涡粘度将雷诺应力和平均流场联系起来，涡粘系数的数值用实验方法确定。到二次世界大战前，发展了一系列的所谓半经验理论，其中包括得到广泛应用的普朗特混合长度理论，以及G.I泰勒涡量传递理论和Karman相似理论。他们的基本思想都是建立在对雷诺应力的模型假设上，使雷诺平均运动方程组得以封闭。1940年，我国流体力学专家周培源教授在世界上首次推出了一般湍流的雷诺应力输运微分方程；1951年在西德的Rotta又发展了周培源先生的工作，提出了完整的雷诺应力模型。他们的工作现在被认为是以二阶封闭模型为主的现代湍流模型理论的最早奠基工作。但因为当时计算机水平的落后，方程组实际求解还不可能。70年代后期，由于计算机技术的飞速发展，周培源等人的理论重新获得了生命力，湍流模型的研究得到迅速发展。建立的一系列的两方程模型和二阶矩模型，已经能十分成功地模拟边界层和剪切层流动，但是对于复杂的工业流动，比如大曲率绕流，旋转流动，透平叶栅动静叶互相干扰等，这些因素对湍流的影响还不清楚，这些复杂流动也构成了进入二十一世纪后学术上和应用上先进湍流模型的研究[48]。 §3.2.3湍流模型研究的现状和进展
湍流模型可根据微分方程的个数分为零方程模型、一方程模型、二方程模型和多方程模型。这里所说的微分方程是指除了时均N-S方程外，还要增加其他方程才能是方程封闭，增加多少个方程，则该模型就被成为多少个模型。下面分别介绍各种湍流模型的研究现状和进展。 3.2.3.1 零方程模型
零方程模型建立在涡粘性假设基础上，把平均N-S方程中的雷诺应力假设为平均物理量的某种函数，使方程组封闭。由于涡粘系数在整个边界层中并不是一个常数，而且湍流边界层仅仅局限于依靠壁面的一个小部分区域内，普朗特在1925年提出了动量传递混合长度理论，将湍流应力和平均速度（dU/dy）直接建立关系，此后各国学者在这方面做了大量工作，下面简介几个应用比较广泛的零方程模型。
一种在工程上最为常用的代数模型是由Cebeci-Smith[49]给出的，可用来计算湍流边界层。C-S模型在工程计算中得到了广泛的应用，其准确度和可靠性也得到了较多实验的验证。实践证明，对于逆压力梯度或顺压力梯度很大的平衡湍流边界层及接近分离区的流动，其精度不是很好。后来Baldwin与Lomax对该公式进
[50]行了修正，得到了Baldwin-Lomax（B-L）模型。B-L模型以涡粘性假设为基础，
属于局部平衡模型，其中系数是不可压缩流体平板附面层实验结果。由于该模型简单，计算工作量小，且对于湍流附面层流动计算具有一定精度，故广泛应用于工程计算中。在应用中人们也发现了B-L模型的不足之处，模型中各系数都是平板附面层经验值，没有考虑压力梯度对附面层的影响。还有很多研究者都曾对代数模型进行了修正，但收效甚微。NASA Ames研究中心曾对代数模型做过广泛系统的研究，发现对于复杂流动的预测它所得到的结果远不如两方程模型精确。 虽然零方程模型精度不高，但由于零方程模型简单，因此在全世界得到了广泛的应用。一般来说，零方程模型有如下优缺点，一是零方程模型适用于中等压力梯度的二维流动，能够很好预报主流速度，但对湍流应力仅能做定性预报。二是零模型只适用于预测具有轻微的横向流动的二维边界层。三是零方程模型不适用于绕流，旋转效应及有分离的流动，对三维复杂流动或是湍流运输效应占主导地位的流动会产生较大误差。四是各向同性假设使得零方程模型不能预测大逆压梯度，或是由于湍流输运所造成的二次流动。五是零方程模型不能预测激波引起的分离流动。
3.2.3.2 一方程模型
一方程模型将湍动能方程作为一个附加的偏微分方程，加上其他代数经验关系式使方程组封闭，一般也称为能量方程模型。它考虑了对流和湍流扩散输运，以湍动能表示特征速度，并由方程求出脉动特征速度，放弃了将脉动特征速度与平均速度梯度直接联系起来的做法，因此能量方程模型比零方程模型更优越。但是能量方程模型也假定了涡粘性系数各向同性，而且特征长度仍需要经验确定，对运动过程影响的考虑也不充分，因而对于复杂流动的应用受到很大的限制。大多数的一方程模型采用涡粘性假设，其精度和计算量介于零方程模型和二方程模型之间。一方程模型的来源由两种，一种从经验和量纲分析出发，针对简单流动逐步发展起来，如Spalart-Allmaras(S-A)模型[51]；另一种由二方程模型简化而来，如Baldwin-Barth(B-B)模型
[52]
。上述两种模型都有相似的特点，不象零方
程模型那样需要分内外层模型，也不需要沿法线方向网格线寻找最大值，因此可用到非结构网格中，但是计算量比零方程模型大。随着模型理论的发展和广大科研工作者的努力，一方程模型也不断得到改进和完善。宁方飞等推导了Splart-Allmaras模型的守恒形式，将其用于了二维扩压器和三维压气机转子湍流流场的计算，取得了很好的效果，表明Splart-Allmaras模型用于内流计算是成功的[53]。
3.2.3.3 两方程模型
两方程模型是目前湍流模型研究中的热门，也是目前应用最广泛的一种湍流模型，这与其内在的物理本质有必然联系。应用比较广泛的两方程模型有Jones与Launder提出的标准k??（S-k-eps）模型[54]，和经过修正的各种低雷诺数k??模型，以及由k??模型发展而来的k??模型和q??模型。另外还有很多关于k??模型的非线性代数应力模型。自Jones与Launder提出的标准k??模型以来，该模型就以其简单，计算精度精度较高而广泛应用于各种湍流研究中。标准k??模型在推演过程中，采用了以下几项基本处理：（1）用湍动能k反映特征
2??Ck/?的关?t?速度；（2）用湍动能耗散率反映特征长度尺度；（3）引进了
系式（4）利用Boussinesq假定进行简化。正因为如此，可以认为k??有以下优点：一是通过求解偏微分方程考虑湍流物理量的输运过程，即通过求解偏微分方程来确定脉动特征速度与平均速度梯度的关系，而不是直接将两者联系起来。二是特征长度不是由经验确定，而是以耗散尺度作为特征长度，并由求解相应的
偏微分得到，因而k??模型在一定程度上考虑了流动场中各点的湍动能传递和流动的历史作用。计算结果表明，它能较好地用于某些复杂流动，例如环流、渠道流、边壁射流和自由湍射流，甚至某些复杂的三维流。然而，标准k??模型也有一定的局限性，主要表现在：一是仍然采用了Boussinesq假定，即采用了
梯度型和湍流粘性系数各向同性的概念，因而使k??模型难以准确模拟剪切层中平均场流动方向的改变对湍流场的影响；二是采用了一系列的经验常数，这些系数都是在一定实验条件下得出来的，因而也限制了模型的使用范围。近十年来人们不断对k??模型进行了改进。
在近壁面雷诺数较低，雷诺应力具有明显的各向异性，分子粘性对流动的影响相对增强,它不仅影响了平均流的输运,而且直接或间接地影响各种湍流过程,此外，湍流动能k的产生率及耗散率?达到极大，近似处于局部平衡，平均流速度和温度的二阶导数大，即平均流参数的梯度变化大。此区内的湍流呈各向异性，从而造成适用于高雷诺数、各向同性湍流的两方程湍流模型不能直接应用到该区。处理低雷诺数湍流流动的工程方法有两大类，即壁面函数法和低雷诺数湍流模型。所谓壁面函数法就是采用简化分析的方法或经验式，给出近壁网格内的速度分量与壁面应力的关系，近壁网格内温度与壁面温差同壁面热流通量的关系，近壁网格内湍流动能的产生率与耗散率。这种方法不需在近壁区内求解平均流场或湍流参量的偏微分方程，不需在近壁区布置精细的网格(y+>30)。它包含了壁面粗糙，且使计算方便，但在诸如低雷诺数时的边界层流、临界雷诺数时的边界层流、非定常和分离流、旋转面或有质量或热量传递的固壁、三维复杂流等情况下，不能应用壁函数[55]。
90年代以来，一种基于重整化群（Renormalization Group－RNG）方法的模型理论引起了人们的兴趣。该理论最早由Yakhot&Orszag[56]提出，其基本思想是：在谱空间内对N-S方程引入了所谓“对应原理”，利用Gauss统计法在平衡态展开。经过一系列移去小尺度部分及对余下部分重新标度的运算，得到一针对大尺度运动的方程。其中小尺度对大尺度的影响在方程中以涡粘性的方式体现。若移去的仅是那些最小的尺度就得到大涡模拟中的亚格子模型，若移去的尺度继续增大，最终就得到涡粘性模型，如代数模式、两方程模式、非线性模式。在高雷诺数极限情况下，所得k??模式（称RNG k??模式）与标准模式形式上完全一样，仅在系数上有所差别。值得注意的是，这里的系数由理论分析而得，不含经验性。更主要的差别在于它们之间近壁处理不同。RNG k??模式中的涡粘性在接近壁面时能自动地向分子粘性过渡，因而无须使用经验性地壁函数或衰减因子。
?，而取其它标量，如湍流“频在选择湍流长度尺度或时间尺度时，若不取k1/2率”l，则可以分别形成k??的二方程模型。目前工程应用的各种湍流模型，
k??两方程模型在对逆压梯度有无分离流动、低雷诺数区域流动以及可压缩流
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