2000年大连理工大学硕士生入学考试试题——数学分析 一、从以下的第一到第八题中选取6题解答，每题10分
1． 证明：f(x)?致连续 证明：
1于区间(?0,1)（其中0??0?1）一致连续，但是于(0,1)内不一x(1)0?????0,而由于f(x)在[?，1]内连续，从而一致连续，?第一个命题成立2 (2)利用定义，取??1，不存在|x1?x2|??(?为定值)使得|f(x1)?f(x2)|??从而不难利用反证法得到第二个命题成立2． 证明：若f(x)于[a,b]单调，则f(x)于[a,b]内Riemann可积
证明：
?0不妨设f(x)单调递增，且?：a?x0?x1?...?xn?b是[a,b]的一个划分,?i?xi?xi?1,max?i???01?i?n?(max{f(x)}?i?1xi?1?x?xinxi?1?x?ximin{f(x)})?i??(f(xi)?f(xi?1))?i??(max{f(xi)?f(xi?1)})i?11?i?nn必然存在一个划分，使得(max{f(xi)?f(xi?1)})?01?i?n
（由于递增，使用二分法的思想，可以使得(max{f(xi)?f(xi?1)})小于任何数）1?i?n所以，lim?(max{f(x)}?min{f(x)})?i?0，所以可积?i?1xi?1?x?xixi?1?x?xin3． 证明：Dirichlet函数：
?0,x为无理数?在所有无理点连续，在有理点间断， f(x)??1p,x?(有理数)?qq?证明：
x0为无理数，f(x0)?01i对于???0，N?[]?1,取??min{|?x0|}，显然这样的?存在1?n?N?n?i?Z当x?(x0??,x0??),|f(x)|?所以，在无理点连续1??N
x0为有理数，f(x0)?0。不难找到趋近于x0的收敛子列：{yi,yi?{无理数}}这样,显然f(x0)不连续。ab,，)（指),(a,b上的连续函数）)4． 证明：若f(x)?C(a,b，且任意(?,?)?(???f(x)dx?0，那么f(x)?0，x?(a,b)
证明1：构造函数F(x)??a?bf(t)dt,?x?(a,b),F(x)?0。2x因为，F(x)可导而且，f(x)?F'(x)?f(x)?0证明：证明2：反证法，不妨设f(x0)?0
那么，存在x0的一个小的邻域(x0??,x0??)，使得?x?(x0??,x0??)f(x)?5． 证明：
x0??f(x0)f(x0)??f(x)dx?(2?)?f(x0)??0。矛盾x??022?nen?1??nx于(0,??)不一致收敛，但是对于???0,于[?,??)一致收敛
证明：
假设：Am(x)??ne?nxn?1mAm(x)??ne?nxn?1meAm(x)??ne?(n?1)xxn?1m?????m?1??(n?1)e?nx??n?0???en?0m?1?nx(e?1)A(x)?mex?(m?1)x?me?(m?1)x1?e?mx?1?e?x1?e?mxlim(me?)?xexm??1?e?A(x)?limAm(x)??xm??ex?1(e?1)2?(m?1)xe?(1)x?[?,??),???0,?N(?)?ln(?),?m?N,|Am(x)?A(x)|??2?(e?1)?1所以，一致收敛1me?1x1?e?nx(2)x?(0,??),?m?N,Am()??ex?A(x)x2me?1(e?1)所以，非一致收敛
6． 证明：
?m?1m
1?4xsin,x?0?，在x=0处有连续的二阶导数 f(x)??x??0,x?0证明：
1?4xsin,x?0?f(x)??x??0,x?011111?34324xsin?xcos(?)?4xsin?xcos,x?0??xxx2xxf'(x)???limf(x)?f(0)?limx3sin1?0,x?0
x?0?x?0x?0x?1111?212xsin?4xcos?2xcos?sin,x?0??xxxxf\x)???limf'(x)?f'(0)?lim(4x2sin1?xcos1)?0,x?0x?0?x?0xx?x?0f\存在，但是，f\x)不在x?0连续
7． 利用重积分计算三个半长轴分别为a,b,c的椭球体的体积
解：三种方法：
1)?x2a2x2a?zdz?a?x?arcsin?C22a22?c?cV???c2z2?b1?2cb1?z2?cb2z2y2?a1?2?2cba1?z2?2y2dxdydz?2a??c?c?c2z2?b1?2cb1?z2z2y21?2?2dydzcbb1?z2c2z2c2z21?2?cxz22carcsin?2ab?(1?2?x??c2c2?cx1?zc22)|dz?b1?z2?4?2ab?(1?2)dz??abc?cc23?x?arcos??2)?y?brsin?,r?[0,1],??[0,2?),z?[?c,c]?z?z?V???c?c?1?z2c20?2?0abrd?drdz?2ab???c?c?1?z2c20z24rdrdz?ab??(1?2)dz??abc?cc3?c?x?arcos?sin????3)?y?brsin?sin?,r?[0,1],??[0,2?),??[?,]22?z?crcos??V?2??
8． 计算第二类曲面积分：
??20??12?00??2abcrsin?d?drd??2???2?abcrsin?drd???abc?2sin?d?00?322?12?4abc?3??xdydz?ydzdx?zdxdy，其中，
2000、2001、2006年大连理工数学分析试题及解答
