第1课时 椭圆的参数方程
[核心必知]
椭圆的参数方程
??x=acos φ,x2y2
中心在原点,焦点在x轴上的椭圆2+2=1的参数方程是?(φ是参数),规
ab?y=bsin φ?
定参数φ的取值范围是[0,2π).
[问题思考]
y2x2
1.中心在原点,焦点在y轴上的椭圆2+2=1的参数方程是什么?
ab
??x=bcos φ,?
提示:由?得?
x?y=asin φ.??b=cos φ,
22
2
y2
=sin 2φ,2a
??x=bcos φ即参数方程为?(φ为参数).
?y=asin φ?
?x=rcos θ,?
2.圆的参数方程?中参数θ的意义与椭圆的参数方程中参数φ的意义相同
?y=rsin θ?
吗?
??x=rcos θ,
提示:圆的参数方程:?(θ为参数)中的参数θ是动点M(x,y)的旋转角,但?y=rsin θ???x=acos φ,在椭圆的参数方程?(φ为参数)中的参数φ不是动点M(x,y)的旋转角,它是点M?y=bsin φ?
所对应的圆的半径OA=a(或OB=b)的旋转角,称为离心角,不是OM的旋转角.
1
2
x2y2
已知椭圆+=1有一内接矩形ABCD,求矩形ABCD的最大面积.
10064
[精讲详析] 本题考查椭圆的参数方程的求法及应用.解答此题需要设出A点的坐标,然后借助椭圆的对称性即可知B、C、D的坐标,从而求出矩形的面积的表达式.
x2y2
∵椭圆方程为+=1,
10064
∴可设A点的坐标为(10cos α,8sin α). 则|AD|=20|cos α|,|AB|=16|sin α|,
∴S矩形=|AB|·|AD|=20×16|sin α·cos α|=160|sin 2α|. ∵|sin 2α|≤1,
∴矩形ABCD的最大面积为160. —————
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利用椭圆的参数方程求函数(或代数式)最值的一般步骤为: (1)求出椭圆的参数方程;
(2)利用椭圆中的参数表示已知函数(或代数式); (3)借助三角函数的知识求最值.
x2y2
1.已知实数x,y满足+=1,求目标函数z=x-2y的最大值与最小值.
2516
??x=5cos φ,x2y2
解:椭圆+=1的参数方程为?(φ为参数).
2516?y=4sin φ?
代入目标函数得
z=5cos φ-8sin φ=52+82cos (φ+φ0) 8
=89cos (φ+φ0)(tan φ0=).
5所以目标函数zmin=-89,zmax=89.
3
x2y2
已知A,B分别是椭圆+=1的右顶点和上顶点,动点C在该椭圆上运
369
动,求△ABC的重心G的轨迹方程.
[精讲详析] 本题考查椭圆的参数方程及轨迹方程的求法.解答此题需要先求出椭圆的参数方程,即C点的坐标,然后利用重心坐标公式表示出重心G的坐标即可求得轨迹.
由题意知A(6,0)、B(0,3).由于动点C在椭圆上运动,故可设动点C的坐标为(6cos θ,3sin θ),点G的坐标设为(x,y),由三角形重心的坐标公式可得
?x=6+0+36cos θ,?
?x=2+2cos θ,
?0+3+3sin θ即?
??y=1+sin θ.,?y=3
(x-2)2
消去参数θ得到+(y-1)2=1.
4—————
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利用椭圆的参数方程求轨迹,其实质是用θ表示点的坐标,再利用sin2θ+cos2θ=1进行消参,本题的解决方法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性,运用参数方程显得很简单,运算更简便.
x2y2
2.设F1、F2分别为椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左、右两个焦点.
ab
3
1,?到F1,F2的距离之和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐(1)若椭圆C上的点A??2?标;
(2)设点P是(1)中所得椭圆上的动点,求线段F1P的中点的轨迹方程. 解:(1)由椭圆上点A到F1,F2的距离之和是4,得2a=4, 3
()2231
即a=2.又点A(1,)在椭圆上,因此+2=1,
24b得
b2=3,于是
c2=a2-b2=1,所以椭圆
x2y2
C的方程为+=1,焦点坐标为F1(-1,0),
43
F2(1,0).
(2)设椭圆C上的动点P的坐标为(2cos θ,3sin θ),线段F1P的中点坐标为(x,y),则
2cos θ-13sin θ+0x=,y=,
22
4
12y
所以x+=cos θ,=sin θ.
23124y2
消去θ,得(x+)+=1.
23
x22
已知椭圆+y=1上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1、B2的连线
4
分别交x轴于P、Q两点,求证:|OP|·|OQ|为定值.
[精讲详析] 本题考查椭圆的参数方程的求法及应用.解答本题需要先确定B1、B2两点的坐标,并用椭圆的参数方程表示出M点的坐标,然后用参数表示出|OP|·|OQ|即可.
设M(2cos φ,sin φ),φ为参数,B1(0,-1),B2(0,1). sin φ+1
则MB1的方程:y+1=·x,
2cos φ令y=0,则x=即|OP|=?
2cos φ,
sin φ+1
?2cos φ?.
?
?1+sin φ?
sin φ-1
MB2的方程:y-1=x,
2cos φ∴|OQ|=?
?2cos φ?.
?
?1-sin φ?
2cos φ??2cos φ??∴|OP|·|OQ|=??×??=4. ?1+sin φ??1-sin φ?即|OP|·|OQ|=4为定值. —————
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(1)利用椭圆的参数方程可把几何问题转化为三角问题,便于计算或证明. (2)利用参数方程解决此类问题时,要注意参数的取值范围.
??x=acos θ,3.求证:椭圆?(a>b>0)上一点M与其左焦点F的距离的最大值为a+c(其
?y=bsin θ?
中c2=a2-b2).
证明:M、F的坐标分别为(acos θ,bsin θ)、(-c,0) |MF|2=(acos θ+c)2+(bsin θ)2
=a2cos 2θ+2accos θ+c2+b2-b2cos 2θ =c2cos 2θ+2accos θ+a2
5
高中数学人教A版选修4-4创新应用教学案: 第二讲 第2节 第1课时 椭圆的参数方程含答案
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