第1课时 椭圆的参数方程
[核心必知]
椭圆的参数方程
??x＝acos φ，x2y2
中心在原点，焦点在x轴上的椭圆2＋2＝1的参数方程是?(φ是参数)，规
ab?y＝bsin φ?
定参数φ的取值范围是[0，2π)．
[问题思考]
y2x2
1．中心在原点，焦点在y轴上的椭圆2＋2＝1的参数方程是什么？
ab
??x＝bcos φ，?
提示：由?得?
x?y＝asin φ.??b＝cos φ，
22
2
y2
＝sin 2φ，2a
??x＝bcos φ即参数方程为?(φ为参数)．
?y＝asin φ?
?x＝rcos θ，?
2．圆的参数方程?中参数θ的意义与椭圆的参数方程中参数φ的意义相同
?y＝rsin θ?
吗？
??x＝rcos θ，
提示：圆的参数方程：?(θ为参数)中的参数θ是动点M(x，y)的旋转角，但?y＝rsin θ???x＝acos φ，在椭圆的参数方程?(φ为参数)中的参数φ不是动点M(x，y)的旋转角，它是点M?y＝bsin φ?
所对应的圆的半径OA＝a(或OB＝b)的旋转角，称为离心角，不是OM的旋转角．
1
2
x2y2
已知椭圆＋＝1有一内接矩形ABCD，求矩形ABCD的最大面积．
10064
[精讲详析] 本题考查椭圆的参数方程的求法及应用．解答此题需要设出A点的坐标，然后借助椭圆的对称性即可知B、C、D的坐标，从而求出矩形的面积的表达式．
x2y2
∵椭圆方程为＋＝1，
10064
∴可设A点的坐标为(10cos α，8sin α)． 则|AD|＝20|cos α|，|AB|＝16|sin α|，
∴S矩形＝|AB|·|AD|＝20×16|sin α·cos α|＝160|sin 2α|. ∵|sin 2α|≤1，
∴矩形ABCD的最大面积为160. —————
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利用椭圆的参数方程求函数(或代数式)最值的一般步骤为： (1)求出椭圆的参数方程；
(2)利用椭圆中的参数表示已知函数(或代数式)； (3)借助三角函数的知识求最值．
x2y2
1．已知实数x，y满足＋＝1，求目标函数z＝x－2y的最大值与最小值．
2516
??x＝5cos φ，x2y2
解：椭圆＋＝1的参数方程为?(φ为参数)．
2516?y＝4sin φ?
代入目标函数得
z＝5cos φ－8sin φ＝52＋82cos (φ＋φ0) 8
＝89cos (φ＋φ0)(tan φ0＝)．
5所以目标函数zmin＝－89，zmax＝89.
3
x2y2
已知A，B分别是椭圆＋＝1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运
369
动，求△ABC的重心G的轨迹方程．
[精讲详析] 本题考查椭圆的参数方程及轨迹方程的求法．解答此题需要先求出椭圆的参数方程，即C点的坐标，然后利用重心坐标公式表示出重心G的坐标即可求得轨迹．
由题意知A(6，0)、B(0，3)．由于动点C在椭圆上运动，故可设动点C的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G的坐标设为(x，y)，由三角形重心的坐标公式可得
?x＝6＋0＋36cos θ，?
?x＝2＋2cos θ，
?0＋3＋3sin θ即?
??y＝1＋sin θ.，?y＝3
（x－2）2
消去参数θ得到＋(y－1)2＝1.
4—————
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利用椭圆的参数方程求轨迹，其实质是用θ表示点的坐标，再利用sin2θ＋cos2θ＝1进行消参，本题的解决方法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便．
x2y2
2．设F1、F2分别为椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点．
ab
3
1，?到F1，F2的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐(1)若椭圆C上的点A??2?标；
(2)设点P是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1P的中点的轨迹方程． 解：(1)由椭圆上点A到F1，F2的距离之和是4，得2a＝4， 3
（）2231
即a＝2.又点A(1，)在椭圆上，因此＋2＝1，
24b得
b2＝3，于是
c2＝a2－b2＝1，所以椭圆
x2y2
C的方程为＋＝1，焦点坐标为F1(－1，0)，
43
F2(1，0)．
(2)设椭圆C上的动点P的坐标为(2cos θ，3sin θ)，线段F1P的中点坐标为(x，y)，则
2cos θ－13sin θ＋0x＝，y＝，
22
4
12y
所以x＋＝cos θ，＝sin θ.
23124y2
消去θ，得(x＋)＋＝1.
23
x22
已知椭圆＋y＝1上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1、B2的连线
4
分别交x轴于P、Q两点，求证：|OP|·|OQ|为定值．
[精讲详析] 本题考查椭圆的参数方程的求法及应用．解答本题需要先确定B1、B2两点的坐标，并用椭圆的参数方程表示出M点的坐标，然后用参数表示出|OP|·|OQ|即可．
设M(2cos φ，sin φ)，φ为参数，B1(0，－1)，B2(0，1)． sin φ＋1
则MB1的方程：y＋1＝·x，
2cos φ令y＝0，则x＝即|OP|＝?
2cos φ，
sin φ＋1
?2cos φ?.
?
?1＋sin φ?
sin φ－1
MB2的方程：y－1＝x，
2cos φ∴|OQ|＝?
?2cos φ?.
?
?1－sin φ?
2cos φ??2cos φ??∴|OP|·|OQ|＝??×??＝4. ?1＋sin φ??1－sin φ?即|OP|·|OQ|＝4为定值． —————
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(1)利用椭圆的参数方程可把几何问题转化为三角问题，便于计算或证明． (2)利用参数方程解决此类问题时，要注意参数的取值范围．
??x＝acos θ，3．求证：椭圆?(a>b>0)上一点M与其左焦点F的距离的最大值为a＋c(其
?y＝bsin θ?
中c2＝a2－b2)．
证明：M、F的坐标分别为(acos θ，bsin θ)、(－c，0) |MF|2＝(acos θ＋c)2＋(bsin θ)2
＝a2cos 2θ＋2accos θ＋c2＋b2－b2cos 2θ ＝c2cos 2θ＋2accos θ＋a2
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高中数学人教A版选修4-4创新应用教学案： 第二讲 第2节 第1课时 椭圆的参数方程含答案
