在职研究生数值分析复习资料
考试时间：120分钟
一、单项选择题(每小题4分，共20分)
1. 用3.1415作为π的近似值时具有( B )位有效数字。
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6
2. 下列条件中，不是分段线性插值函数 P(x)必须满足的条件为( A )。
(A) P(x) 在各节点处可导 (B) P(x) 在 [a，b] 上连续 (C) P(x) 在各子区间上是线性函数 (D) P(xk)=yk,(k=0,1, … ,n)
3. n阶差商递推定义为：f[x0,x1,?xn]?差商表如下：
序号 0 1 2 3 f[x1,x2,?xn]?f[x0,x1,?xn?1]，设
xn?x0xi 1 3 4 7 f(xi) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 0 2 15 12 1 13 －1 4 －7/2 －5/4 那么差商f [1，3，4]＝( A )。
A. (15－0)/(4－1)＝5 B. (13－1)/(4－3)=12 C. 4 D. －5/4 4. 分别改写方程2x?x?4?0为x??2x?4和x?ln(4?x)/ln2的形式，对两者相应迭代公式求所给方程在[1,2]内的实根，下列描述正确的是：( B )
(A) 前者收敛，后者发散 (B) 前者发散，后者收敛 (C) 两者均收敛发散 (D) 两者均发散
5. 区间[a，b]上的三次样条插值函数是( A )。
A. 在[a，b]上2阶可导，节点的函数值已知，子区间上为3次的多项式 B. 在区间[a，b]上连续的函数 C. 在区间[a，b]上每点可微的函数 D. 在每个子区间上可微的多项式
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二、填空题(每空2分，共20分)
1. 当x=1，-1，2时，对应的函数值分别为f(-1)=0，f(0)=2，f(4)=10，则f(x)的拉格朗日插值多项式是
62104P2(x)??x?x?2（题目有问题，或许应该是：x= -1，0，4时…）
55552. 求解非线性方程xex?1?0的牛顿迭代公式是
xk?e?xkxk?1?xk?,(k?0,1,2...)
xk?13. 对任意初始向量X(0)和常数项N，有迭代公式x(k?1)?Mx(k)?N产生的向量序列X(k)收敛的充分必要条件是limX(k)?X*。
k?????32??2?,X???， 4 .设 A?????21???3?‖A‖∞＝___5____，‖A‖1＝___5___，‖X‖∞＝__ 3 _____。 5. 已知a=3.201，b=0.57是经过四舍五入后得到的近似值，则a?b有 2 位有效数字，a+b有 1 位有效数字。
6. 若f(x)=x7－x3＋1，则f[20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 。 7. 求积公式?f(x)dx?01211123f()?f()?f()具有___3__ 次代数精度。 343234三、利用100，121，144的平方根，试用二次拉格朗日插值多项式求115的
近似值。要求保留4位有效数字，并写出其拉格朗日插值多项式。
四、已知：已知有数据表如下，用n=8的复合梯形公式
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n?11h（Tn?[f(a)?2?f(xk)?f(b)]），计算积分I??exdx，并估计误差
02k?1（Rn(f)??x ex b?a2。 hf\(?),??(a,b)）
120.25 1.284025 0 0.125 1 1.133148 0.375 1.454991 0.5 1.648721 0.625 1.868246 0.75 2.117000 0.875 2.398875 1 2.718282 ?a21??x1??1???????五、已知方程组?2a2??x2???2?
?12a??x??1????3???（1）写出解此方程组的雅可比法迭代公式； （2）证明当a?4时，雅可比迭代法收敛；
111（3）取a?5,X(0)?(,,)T，求出X(2)。
10510六、用改进的欧拉公式求解以下初值问题（取步长为0.1，只要求给出x=0.1至0.5处的y值，保留小数点后四位）。
2x????(0?x?1) ?y'?y?y??y(0)?1?七. 用列主元高斯消元法解线性方程组。(计算时小数点后保留5位)。
?x1?x2? x3??4??5x1?4x2?3x3??12 ?2x?x?x?11123?八、用高斯赛德尔方法求下列方程组的解，计算结果保留4位小数。
?10x1?2x2?x3?3???2x1?10x2?x3?15 ??x?2x?5x?1023?1
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九、设f(0)?1,f(0.5)?5,f(1)?6,f(1.5)?3,f(2)?2，f(k)?M(k?2,3,4)， （1）计算
?20（2）估计截断误差的大小 f(x)dx，
?135??2?????十、设有线性方程组Ax?b，其中 A?31015,b??8?
???5???51530????（1）求A?LU分解; (2) 求方程组的解 (3) 判断矩阵A的正定性 十一、用牛顿迭代法求方程x?e?x（迭代三步即可） ?0的根。
十二、已知单调连续函数y=f(x)的如下数据，若用插值法计算，x约为多少时
f(x)=0.5，要求计算结果保留小数点后4位。
xi f(xi) -1 0 2 3 -4 -1 0 3 A卷第４页
参考答案
三、解 利用抛物插值，这里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11，x2=144，y2=12，令x=115代入抛物插值多项式求得115近似值为10.7228
四、解
71T8?[f(0)?2?f(xk)?f(1)]?1.720519
16k?11[f(0)?4?(f(0.125)?f(0.375)?f(0.625)?f(0.875))?2? 24(f(0.25)?f(0.5)?f(0.75))?f(1)]?1.71828S4?b?a211hf\(?)|?()2e1?0.003594296875 12128b?a4(4)114|R4(f)|?|?hf(?)|?()e?4.7272?10?5
288028804|R8(f)|?|?五、解 （1）对i?1,2,3，从第i个方程解出xi，得雅可比法迭代公式为：
?(m?1)1(m)(m)x?(1?2x?x)123?a??(m?1)1(m)?(2?2x1(m)?2x3),m?0,1,? ?x2a?1(m?1)(m)?x3?(1?x1(m)?2x2)?a?（2）当a?4时，A为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法收敛。
111（3）取a?5，X(0)?(,,)T
10510由迭代公式计算得 x1(1)? x1(2)181(1)(1)， x2， x3?? 10251013813(2)(2)， x2， x3 ???2502525081313， ，）T
25250250则 X（2）=（
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在职研究生数值分析复习资料及答案
