函数单调性之分类讨论
一、思维导图
含参函数单调性的讨论
?一次函数形式??二次函数形式1、求定义域?2、求导数???3、数轴标根?4、判断导数正负?5、函数单调性
?分式函数形式?含ex函数形式?
b?k?0?数轴标根(x??)?单调区间??k (1):f、(x)?kx?b???k?0?数轴标根(x??b)?单调区间?k?
(2):f、(x)?ax2?bx?c?因式分解?f、(x)?a(x?x1)(x?x2)??a?0?一次函数讨论式? ??0?数轴标根?单调区间??讨论参数??a?0或a?0?不能判断则????0?数轴标根?单调区间???0?比较两根大小?(x1?x2或x1?x2)??
(3):f、(x)?(含分式的式子)?通分???f、(x)??一次式讨论 g(x)?一般情况下分母?????????讨论g(x)??0，不用管ax?b?二次式讨论
、xx??????f(x)?(e?a)(e?b)形式?根据参数分类讨论?因式分解、xx(4):f(x)?(含e的式子)(注:e?0)??、x???x?f(x)?e(ax?b)形式?根据参数分类讨论??提取e
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二、例题精析
例题1、讨论函数f(x)?lnx?ax的单调性。 [解析]定义域：(0,??)
1?ax?1?a?函数的导数：xx
1f、(x)??0①当a?0时，，故f(x)在(0,??)上单调递增； x?ax?1、f(x)??0,②当a?0时，故f(x)在(0,??)上单调递增； x11x?,、③当a?0时，令f(x)?0,得：a 故f(x)在(0,a)上单调递增；
f、(x)?1(在,??)上单调递减； a
12例题2、已知函数f(x)?lnx?ax?(a?1)x,(a?0)，
2（1）讨论f(x)的单调性； [解析]定义域：(0,??)
1a(x?1)(x?)21?ax?(a?1)x?1、a?函数的导数：f(x)??ax?a?1? xxx??(a?1)2?4?(?a)?1?(a?1)2 ①??0时，即a??1时， 故f(x)在(0,??)单调递增，
1??0时，x1?1,x2??，比较两根大小情况，
a1(0,1),(?,??)单调递增， ②x1?x2时，即?1?a?0时， 故f(x)在
a1(1,?)单调递减， 在
ax1?x2时，即a??1或a?0，
11③当a??1时， 故f(x)在(0,?),(1,??)单调递增，在(?,1)单调递减，
aa④当a?0时， 故f(x)在(0,1)单调递增，在(1,??)单调递减，
2
例题3、（2017全国卷1理21）已知函数f(x)?ae（1）讨论f(x)的单调性； [解析]：定义域：(??,??)，
函数的导数：f'?x??2ae2x??a?2?ex?1??aex?1??ex?1?
x因为e?1?0,所以只讨论ae?1的符号，
x2x?(a?2)ex?x
①当a?0时，f(x)?0，故f(x)在(??,??)上单调递减。
、11、x?ln,x?(??,ln)时，f、(x)?0， f(x)?0②当a?0时，令得 即：
aa111、x?(ln,??)时，f(x)?0，故f(x)在(??,ln)上单调递减，在(ln,??)上单调递增，
aaa
三、练习巩固
1、（2017全国卷3文21）已知函数f(x)?lnx?ax2?(2a?1)x （1）讨论f(x)的单调性 [解析]：定义域（0，+），
、函数的导数：f(x)?、1(x?1)(2ax?1)?2ax?2a?1? xx①当a?0时，f(x)?0，故f(x)在（0，+）上单调递增。 ②当a?0时，分子=(x?1)(2ax?1)?0?x1??1,x2??故f（x）在
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1,且x1?x2， 2a单调递增，在单调递减.
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