难点33函数的连续及其应用
函数的连续性是新教材新增加的内容之一.它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一 起?在高考中，必将这一块内容溶入到函数内容中去，因而一定成为高考的乂一个热点.本节 内容重点阐述这一块知识的知识结构体系.
?难点磁场
3
(★★★★)已知函数x(x +1)
log2(x-l)
(兀 < -1)
(-1 ⑴讨论用)在点*一 1,0,1处的连续性; ⑵求沧)的连续区间. ?案例探究 V2_4 ［例1］已知函数沧)=—, x + 2 (1)求/⑴的定义域，并作出函数的图象; ⑵求几Y)的不连续点呵； (3)对几◎补充定义，使其是R上的连续函数. 命题意图：函数的连续性，尤英是在某定点处的连续性在函数图象上有最直观的反映. 因而画函数图彖公直观反映题冃中的连续性问题也就成为一种最重要的方法. 知识依托：木题是分式函数，所以解答木题的闪光点是能准确曲 出它的图象. 错解分析：第(3)问是本题的难点，考生通过自己对所学连续函数 定义的了解.应明确知道第(3)问是求的分数函数解析式. 技巧与方法：对分式化简变形，注意等价性，观察图象进行解答. 解：(1)当x+2工()时，有兀工一2 因此，函数的定义域是(一8,—2)U(—2,+g) 兀2 _4 当兀工一2时，——=x-2, x + 2 具图象如上图 (2)由定义域知，函数/(X)的不连续点是x()=-2. ⑶因为当 xH—2 时，2,所以 lim = lim (x-2) =—4. A->-2 XT—2 兀2 _4 因此，将ZU)的表达式改写为fM=< x + 2 -4 (XH-2) (x = -2) 则函数/U)在R上是连续函数. ［例2］求证：方程x=asiwc+b(a>0,/?>0)至少有一个正根，且它不大于a+b. 命题意图：耍判定方程.心)=0是否有实根.即判定对应的连续函数)吋仗)的图象是否与x 轴有交点，因此根据连续函数的性质，只要找到图象上的两点，满足一点在x轴上方，另一 点在x轴下方即可.本题主要考查这种解题方法. 知识依托：解答本题的闪光点要找到合适的两点，使函数值其一为负，另一为正. 错解分析：因为本题为超越方程，因而考生最易想到画图象观察，而忽视连续性的性质 在解这类题冃中的简便作用. 证明：设 /U）=asiru+b—x, 则/（O）=b>（V（d+b）=a ? sin（a+b）+b—（d+b）=d [sin（a+b）—1] WO, 乂./U）在（O,d+b]内是连续函数，所以存在一个x°W（O,d+b],使/Uo）=O,即丸是方程心）=0 的根，也就是方程x=d ? sinx+b的根. 因此，方程x=asinx+b至少存在一个正根，且它不人于a+h. ?锦囊妙计 1 ?深刻理解函数/U）在X0处连续的概念： 等式liin/（x）h（xo）的涵义是：⑴心））在*丸处有定义，即.心））存在；（2）亦几0存在， 这里隐含着/?在点xn（）附近有定义；（3爪）在点勿处的极限值等于这一点的函数值，即 lim fM=f（x（｝）. 函数yw在也处连续，反映在图象上是/U）的图象在点尤=必处是不间断的. 2. 函数7U）在点必不连续，就是几r）的图象在点4X0处是间断的. 其情形：⑴lim/W存在泓兀。）存在，但lim/U）H/Uo）；（2） lim沧）存在，但几切） 不存在?⑶ X~>A X->X （） 0 lim /（兀）不存在? Af0 3. 由连续函数的定义，可以得到计算函数极限的一种方法：如果函数/U）在其定义区间 内是连续的，点兀（）是定义区间内的一点，那么求x-xo时函数沧）的极限，只要求岀/⑴在 点Xo处的函数值/Uo）就可以了，即lim ?/W=i/Uo）. Xf° ?歼灭难点训练 一、选择题 】.（★★★★）若张）= ―-在点x=Q处连续，则/（0）等于（ ） V1 + X -1 3 A.- 2 ? B.- 3 C.lD.0 x 0 < jc < 1 x = \\ 则/(x)的连续区间为() 2 1 A.((), 2) C.(0, 1)U(1, 2) l B.(0, 1) D.(l, 2) 二、填空题 XTI 4 arctan x 1 _ Vl ~ x 〈(★★★★)若/(x)h x 处处连续，则Q的值为 ________ x>0 a +bx 三、解答题 1 2：-1 ★★)已知函数丄 (\(-v = 0) 2 +1 1 X（iyu）在*0处是否连续？说明理由； ⑵讨论/U）在闭区间［— 1,0］和［0,1］上的连续性. \\ \\ \\ — (x<0) x &.(★★ ★★)已知 f(x)=< x a + bx(x > 0) ⑴求n—X）; （2）求常数a的值，使yu）在区间（一8,+°°）内处处连续. ★★）求证任何一个实系数一元三次方程如?+。］<+°2兀+。3二0@（）,01,。 2,。3 0&。0工0） 至少有一个实数根. （x<\\） &(★★ ★★)求函数 /U)=< 1 log2(^-—) 的不连续点和连续区间. （兀〉1） 参考答案 难点磁场 解：（l）lim/W=3, lim./W=—1,所以 lim/W不存在，所以 f（x）& x=— 1 处不连续, x->-l~ 兀一> 一广 X->-1 但lim^M-D=-L lim/WWA—1）,所以几v）在心一1处右连续，左不连续 XT-1 JVT-厂 恤/（兀）=3=/（1）, lim./W不存在，所以lim/（x）不存在，所以.心）在e 1不连 续，但左连 XTl- XT1+ XT1 续，右不连续. 又linV⑴审0）=0,所以张）在x=0处连续. XTO （2VU）中，区间（一8,—1）, ［ — 1,1］ ,（1,5］上的三个函数都是初等函数，因此夬X）除不连 续点*±1夕卜，再也无不连续点，所以兀0的连续区间是（一汽一1）, ［―1,1］和（1,5］. 歼灭难点训练 1 做斗 “、（J1 + 兀 + 1）（ J】+ X - 1）［#（1 +d + Vl + % + 1J ?、1.解析：f（X）= ---- , ^ -= ------ —=— （V1 + x +1）［?/（1 + 兀）\1］［AAX + 1 — 1］ (ym)2+vm+i VT+x+i 答案：A 2.解析：lim/W=liml = l XT1+ XT 广 lim/W= lim 兀= l,lim/(兀)=1工/(1)= \\ XTT .<-?r x->i 2 即7U)在41点不连续，显知/W在(0,1)和(1,2)连续. 答案:C 二、 3.解析：利用函数的连续性，即iim /(x) = /(x0), .「兀2 _ sin(2 _ 兀)_ F _sin(2 _ 1) _ 1 XTI 4 arctan 1 4 arctan 1 n 答案：- n 4. ------------------------------- 解析:lim f(x) = lim = lim }= = \\ XT(T x->o~ x X~A)~ 1 +V1--V 2 lim fM = lim (a+bx) = 0,「. G = 1 XT0? XT。\2 答案：丄 2 1-一 (WO) 三、 5.解：f(x)= < 2：+l 1 (x = 0) (1) lim/(x)=-l, limAx)=l,0r以linV(劝不存在，故沧)在兀=0处不连续. x->0 1 XT(厂 XTO (2) /W在(一8,+8)上除x=0外，再无间断点，由⑴知心)在40处右连续，所以.心)在 ［ -1, 0］上是不连续函数，在［0,1］上是连续函数. J1 + 兀 -1 6.解：x (x<0) (x > 0) a-bx ⑵要使心）在（一8,+°°）内处处连续，只要心）在x=0连续，lim/W XT（F 1 - Vl -x x 1 1 = lim --------- = lim ------ / --- = lim -----/--- =— XTO X XTO %(1 + yl~ X) XTO 1 + 5/1 — X 2 lim/W= lim (d+bx)=a,因为要/U)在 x=0 处连续，只要 lim fW= lim/U) XTO? XTO* =lim Ax）=^O）,所以 a=： XT0+ 2 7. 证明：设 f[x）=ai2（）x+aix+a2x+a3,函数/（x）在（一8,+8）连续，且 +°o时，心）->+8必 —8时，y（x）f— 8,所以必存在 ^e（—oo,+oo）,/?e（—oo, +8）,使 几?）?所以/（%） 的图象至少在（”）上穿过X轴一次，即fM=O至少有一实根. 8. 解：不连续点是x=l,连续区间是（一8,1）,（1,+°°） 难点34导数的运算法则及基本公式应用 导数是屮学限选内容小较为重耍的知识，本节内容主要是在导数的定义，常川求等公式. 四则运算求导法则和复合函数求导法则等问题上对考生进行训练与指导. ?难点磁场 (★★★★★)已知曲线 C： y=x3—3X2+2X,直线 l:y=kx,且 / 与 C 切于点(Aojo)Uo^O)? 求直 线/的方程及切点坐标. ?案例探究 ［例1］求函数的导数： (l)y =-——7^—— (2)y = (ax-Z?sin2^)3 (3)y = /(7x2 +1) (1 + x~)cos^ 命题意图：本题3个小题分别考查了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及 抽象函数求导的思想方法.这是导数中比较典型的求导类型，属于★★★★级题目. 知识依托：解答本题的闪光点是要分析函数的结构和特征，挖掘虽的隐含条件，将问题 转化为基本函数的导数. 错解分析：本题难点在求导过程中符号判断不清，复合函数的结构分解为基本函数出差 错. 技巧与方法：先分析函数式结构，找准复合函数的式了特征，按照求导法则进行求导. ⑴解：y = r(1-兀)'(1 + x2)cosx-(1-x)[(l + x2)cosx]x 9 -(1 + x2)cosx-(l -x)[(l + x2)rcos 兀+ (1 + x2)(cos 兀)'] (l + x2)2cos2 X (1 + JC )_ - COS X 一(1 + x )cosx-(1 一x)[2xcosx一(1 + x )sinx] (1 + x2)2 cos2 X (兀? 一 2兀一 l)cosx + (l — 兀)(1 + ；r)sin兀 (l + x2)2cos2 x (2)解：尸 “ bsin2cox, U =av~by v=x,y=sin Y Y=^x f3f2fy =(Py =3 f ? P =3 P (av—by) 21=3/(3' ~by' )=3(av' —by Y' ) .22 ■ =3(dx—bsiiT b 3 sin2cox) ⑶解法?一：设 y=fi 〃〃二乔,v=x2+l,WlJ y，x=y，p p ' v ? v' x=f (P) ? ~~2 * v2x
中国特级教师高考复习方法指导---高考数学难点系列41讲【全国通用】33-41.docx
