专题 04 函数的零点与方程的根的解题方法
本专题特别注意：
一．命题类型：
1. 零点与整数解； 2. 二分法；
3. 分段函数的零点； 4. 零点范围问题； 5. 零点个数问题； 6. 零点与参数； 7. 零点与框图；
8. 二次函数零点分布问题； 9. 抽象函数零点问题； 10. 复合函数零点问题； 11. 函数零点与导数； 12. 零点有关的创新试题。
二．【学习目标】
1. 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断根的存在性与根的个数．
2. 利用函数的零点求解参数的取值范围
【知识要点】
1. 函数的零点
(1) 函数零点的定义
对于函数 y＝f(x)，我们把使
的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点．
．
(2) 方程 f(x)＝0 有实数根?函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交点?函数 y＝f(x)有 (3) 函数零点的判定
如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是
的一条曲线，并且有 ，那么，函数 y＝f(x)
在区间
内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的根．
2. 二次函数 y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)零点的分布
根的分布
(m （一）零点与整数解； 例 1．已知函数 f(x)在区间(0，a)上有唯一的零点(a>0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所 在的区间为 ， ， ，则下列说法中正确的是( ) A．函数 f(x)在区间 B. 函数 f(x)在区间C. 函数 f(x)在D. 函数 f(x)在区间 内一定有零点 或 内无零点 或 内有零点 内有零点，或零点是 【答案】B 点睛：本题主要考查二分法的定义，属于基础题．已经知道零点所在区间，根据二分法原理，依次“二分” 区间，零点应存在于更小的区间， 而不是更大的区间。这样就可以断定 ACD 是错误的。故可以得到结论。练习 1.【河北定州 2019 模拟】设函数范围是（ ，若存在唯一的整数 ，使得 ，则 的取值 ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 当直线 令 ,函数 时， ，当 在 时， 上为减函数，在 上为增函数，当 时， 取得极小值为 ，即 ， ， ，若存在唯一的整数 ，使得 ，只需 解得： ，选 D. 练习 2.已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x＞0 时，f（x）=x2﹣2x﹣3，求当 x≤0 时，不等式 f（x） ≥0 整数解的个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【解析】由函数为奇函数可知当 x≤0 时，不等式 f（x）≥0 整数解的个数与 x ? 0 时 f ? x ? ? 0 的个数相同， 由奇函数可知 f ?0? ? 0 ，由 求的整数点有 4 个 得 ，所以整数解为 1,2，3，所以满足题意要 （二）二分法； 例 2．下面关于二分法的叙述中，正确的是 A．用二分法可求所有函数零点的近似值 B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成 D．只能用二分法求函数的零点 ( ) 【答案】B 【解析】用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项 A 错误； 二分法是一种程序化的运算，故可以在计算机上完成，故选项 C 错误； 求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等，故 D 错误．故选 B. 练习 1.已知函数 ，设 ） ，且 F (x) 的零点均在区间(a, b) 内，其中 a , b ? Z ， a ? b ，则 F ( x) ? 0 的最小整数解为（ A． ?1 B． 0 C． ?5 D． ?4 【答案】D 【 解 析 】 ? ， 所 以 函 数 在 ??1, 0??内 有 零 点 ， 且 在 区 间 ??1, 0? 上 ， ，函数递增，故只有唯一零点，f ? x? 左移 4 个单位得到 F (x) ， 依题意，函数 F (x) 所有零点都在区间??5, ?4? 上，所以使得 F (x) ? 0 的最小整数为?4 . 考点：函数图象平移与零点. 【思路点晴】本题主要考查函数图象变换和零点与二分法的知识.由于 ，所以函数 F ? x ? 的 图像是有函数 f ? x? 的图像向左平移4 个单位所得.由于 F ? x ? 零点都在某个区间上，所以函数 f ? x? 的零点 也在某个区间上.利用二分法的知识，计算 的值， ，且 f ? x? ? 0 函 ' 数递增，有唯一零点在区间??1, 0? ，左移4 个单位就是??5, ?4? . （三）分段函数的零点； 例 3.已知函数 的实数根，则a 的取值范围是 A． ? 0, ? ? ，若关于 x 的方程 有 8 个不等 ? 1 ? 4 ? ? B． ? , 3? ? 1 ? 3 ? ?? C． ?1, 2? D．（2, ） 9 4【答案】D 【解析】函数 ，的图象如图：
高考数学(文)命题热点函数的零点与方程的根的解题方法(解题技巧+注意事项+考点要求)
