高考数学中的内切球和外接球问题
一、 有关外接球的问题
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点。
一、直接法(公式法)
1、求正方体的外接球的有关问题
例1 若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ .
解析：球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径.故表面积为
27?.
例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为____43?__________.
2、求长方体的外接球的有关问题
例3 （2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 .
解析：体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为14，故球的表面积为
14?.
例4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的
表面积为（ C ）.
A. 16? B. 20? C. 24? D. 32? 解析：长、宽、高分别为2，2，4
3.求多面体的外接球的有关问题
例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶
9点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为8，底面周长为３，则这个球的体积
为 .
6x?3,1??x?,??2??9?32?6?xh,??h?3．84??xh解 设正六棱柱的底面边长为，高为，则有
r?31d?2.∴外接球的半径2，球心到底面的距离∴正六棱柱的底面圆的半径R?r2?d2?1.?V球?4?3.
222小结 本题是运用公式R?r?d求球的半径的，该公式是求球的半径的常
用公式.
二、构造法(补形法)
1、构造正方体
例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______9?________.
解 把这个三棱锥可以补成一个棱长为3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.
则有
?2R?2??3???3???3?222?9.∴
R2?94.故表面积S?4?R2?9?.
小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a、b、c，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱
2222R?a?b?cR锥的外接球的直径.设其外接球的半径为，则有. 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
例 6 .一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ A ）
A. 3? B. 4? C. 33? D. 6?
解析：联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，再寻找棱长相等的四面体，如图2，四面体满足条件，由此可求得正方体的棱长为1，体对角线为3，从而外接球的直径也为3 0?DAB=60ABCDAB=2DC=2例7（2006年山东高考题）在等腰梯形中，，，E为AB的中点，将?ADE与?BEC分布沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P-DCE的外接球的体积为（C ）.
43666????A. 27 B. 2 C. 8 D. 24
解析：（如图3）
AD?AE=EB=BC=DC=DE=CE=1，即三棱锥P-DCE为正四面体，至此，这与例
6就完全相同了 DCP例8 （2008年浙江高考题）已知球O的面上四点A、B、C、D，DA?平面ABC，AB?BC，DA=AB=BC=3，则球O的体积等于 . A3，则此长方体为正方体，B解析：DA=AB=BC=所以CD长即为外接球的直径，EDCE图3
高三数学 理科 综合内切球和外接球问题 附习题
