《运筹学》试题样卷（一）
题号 得分 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 一、判断题（共计10分，每小题1分，对的打√，错的打X）
1. 无孤立点的图一定是连通图。
2. 对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解， 另一个也一定有最优解。
3. 如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。 4．对偶问题的对偶问题一定是原问题。
5．用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与都可以被选作换入变量。
6．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷 多个最优解。
7. 度为0的点称为悬挂点。
8. 表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法。 9. 一个图G 是树的充分必要条件是边数最少的无孤立点的图。 10. 任何线性规划问题都存在且有唯一的对偶问题。 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ?j?0对应的变量
二、建立下面问题的线性规划模型（8分）
某农场有100公顷土地及15000元资金可用于发展生产。农场劳动力情况为秋冬季3500人日；春夏季4000人日。如劳动力本身用不了时可外出打工，春秋季收入为25元 / 人日，秋冬季收入为20元 / 人日。该农场种植三种作物：大豆、玉米、小麦，并饲养奶牛和鸡。种作物时不需要专门投资，而饲养每头奶牛需投资800元，每只鸡投资3元。养奶牛时每头需拨出1.5公顷土地种饲料，并占用人工秋冬季为100人日，春夏季为50人日，年净收入900元 / 每头奶牛。养鸡时不占用土地，需人工为每只鸡秋冬季0.6人日，春夏季为0.3人日，年净收入2元 / 每只鸡。农场现有鸡舍允许最多养1500只鸡，牛栏允许最多养200头。三种作物每年需要的人工及收入情况如下表所示： 大豆 玉米 麦子 秋冬季需人日数 春夏季需人日数 年净收入（元/公顷）
试决定该农场的经营方案，使年净收入为最大。
20 50 3000 35 75 4100 10 40 4600
x,x三、已知下表为求解某目标函数为极大化线性规划问题的最终单纯形表，表中45为
松弛变量，问题的约束为 ? 形式（共8分） x1 x3 5/2 5/2 0 1 0 x2 1/2 －1/2 －４ x3 1 0 0 x4 1/2 －1/6 －４ x5 ０ 1/3 －２ x1 cj?zj (1)写出原线性规划问题；（4分） (2)写出原问题的对偶问题；（3分）
(3)直接由上表写出对偶问题的最优解。（1分） 四、用单纯形法解下列线性规划问题（16分）
maxZ?2x1?x2?x3
s. t. 3 x1 + x2 + x3 ? 60 x 1- x 2 +2 x 3 ? 10 x 1+ x 2- x 3 ? 20 x 1, x 2 , x 3 ?0
五、求解下面运输问题。 （18分）
某公司从三个产地A1、A2、A3 将物品运往四个销地B1、B2、B3、B4，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如表所示： 问：应如何调运，可使得总运输费最小?
BB2 销 地 1 产 地 B3 B4 产 量 25 25 50 100 A1A2 A310 8 9 15 5 2 3 20 6 7 4 30 7 6 8 35 销 量 六、灵敏度分析（共8分）
线性规划max z = 10x1 + 6x2 + 4x3
s.t. x1 + x2 + x3 ? 100 10x1 +4 x2 + 5 x3 ? 600 2x1 +2 x2 + 6 x3 ? 300 x1 , x2 , x3 ? 0
的最优单纯形表如下： 6 10 0 x2 x1 x6 ?j 200/3 100/3 100 0 1 0 0 5/6 1/6 4 –8/3 1 0 0 0 5/3 -2/3 -2 -10/3 – 1/6 1/6 0 – 2/3 0 0 1 0 (1)C1在何范围内变化，最优计划不变？(4分) (2)b1在什么范围内变化，最优基不变？(4分)
七、试建立一个动态规划模型。（共8分）
某工厂购进100台机器，准备生产 p1 , p2 两种产品。若生产产品 p1 ，每台机器每年可收入45万元，损坏率为65%；若生产产品 p2 ，每台机器 每年可收入35万元，损坏率为35%；估计三年后将有新 的机器出现，旧的机器将全部淘汰。试问每年应如何安排生产，使在三年内收入最多？
八、求解对策问题。（共10分）
某种子商店希望订购一批种子。据已往经验，种子的销售量可能为500，1000，1500或2000公斤。假定每公斤种子的订购价为6元，销售价为9元，剩余种子的处理价为每公斤3元。 要求：
（1）建立损益矩阵；（3分）
（2）用悲观法决定该商店应订购的种子数。（2分）
（3）建立后悔矩阵，并用后悔值法决定商店应订购的种子数。（5分）
九、求下列网络计划图的各时间参数并找出关键问题和关键路径。（8分） 1 8 6 2 5 5 3 4 3 7 4 9 7 工序 代号 1-2 1-3 7 2 3 8 3 工序 时间 8 7 6 最早开 最早完 最晚开 最晚完 机动 工时间 工时间 工时间 工时间 时间 1-4 2-4 2-5 3-4 3-6 4-5 4-6 4-7 5-7 6-7 6 3 5 2 3 3 7 4 9 8
十、用标号法求V1 到 V6 的最短路。（6分） V2 4 3 6 V1 6 5 6 V3 4
V4 8 3 4 V5 V6
运筹学样卷（一）答案
一、 ① X
二、建线性规划模型。共计8分（酌情扣分）
解：用x1,x2,x3分别表示大豆、玉米、麦子的种植公顷数；x4,x5分别表示奶牛和鸡的饲养数；x6,x7分别表示秋冬季和春夏季的劳动力（人日）数，则有
② √ ③ X ④ √ ⑤ √ ⑥ √ ⑦ X ⑧ √ ⑨ X 10 √ 判断题。共计10分，每小题1分
maxZ?3000x1?4100x2?4600x3?900x4?20x5?20x6?25x7
三、对偶问题。共计8分
?100(土地限制)?x1?x2?x3?1.5x4?400x4?3x5?15000(资金限制)??20x1?35x2?10x3?100x4?0.6x5?x6?3500(劳动力限制)??50x1?175x2?40x3?50x4?0.3x5?x7?4000(劳动力限制)?x4?200(牛栏限制)?x5?1500(鸡舍限制)??x?0(j?1,2,?,7)?j
?6x1?2x2?10x3
解：（１）原线性规划问题：maxzx2?2x2?5???3x1?x2?x3?10?x,x?02 ?1 ；……4分
（２）原问题的对偶规划问题为：
minw?5y1?10y2
3y2?6?
?y?y??2?12?
?2y1?y2?10?
?y1,y2?0 ； ……3分
? （３）对偶规划问题的最优解为：Y?(4,2)T 。……1分
四、单纯形表求解线性规划。共计16分 解：引入松弛变量x4、 x5、 x6，标准化得，
maxZ?2x1?x2?x3
《运筹学》 期末考试 试卷A 答案
