?ex,x?011、设函数f(x)??
?a?x,x?0应当怎样选择a ，使得f(x)成为在(??，??)内的连续函数。
12、证明方程x5?3x?1至少有一个根介于1和2之间。
（B）
1、设f(x)的定义域是[0 ，1] ，求下列函数定义域 （1）y?f(ex) （2）y?f(lnx)
2、设f(x)???0,x?og(x)???x,x?0?0,x?0??x2,x?0 求
f[f(x)],g[g(x)],f[g(x)],g[f(x)]
3、利用极限准则证明： （1）lim1n??1?n?1 （2）1xlim?0?x[x]?1
；
（3）数列2,
4、试比较当x?0时 ，无穷小2x?3x?2与x的阶。
5、求极限
（1）limx(x?1?x) ； （2）lim(x???x??2?2,2?2?2,?的极限存在 ；
22x?3x?1) ； 2x?1 （3）lim
tanx?sinx ； 3x?0xax?bx?cxx)（4）lim(x?03
1(a?0,b?0,c?0) ；
1?,x?0?xsin6、设f(x)?? 要使f(x)在(??,??)内连续， x2??a?x,x?0应当怎样选择数a ？
?x1??1,x?0 求f(x)的间断点，并说明间断点类型。 7、设f(x)??e??ln(1?x),?1?x?0
（C）
1、已知f(x)?ex2、求下列极限：
（1）、lim[cosln(1?x)?coslnx] ；（2）、limx???2,f[?(x)]?1?x ，且?(x)?0 ，求?(x)并写出它的定义域。
x?01?xsinx?cosx ；
x3x2?52x?ax?sin ；（3）、求lim（4）、已知lim()?9 ，求常数a 。
x??5x?3x??x?ax（5）、设f(x)在闭区间[a,b]上连续 ，且f(a)?a,f(b)?b ，
证明：在开区间(a,b)内至少存在一点? ，使f(?)?? 。
第一章 函数与极限 习 题 解 析
（A）
一、填空题 （1）(1,2] （2）(?1,??) （3）[2 ，4]
（4）x2k??x?(2k?1)??,k?z? （5）[?2,;x?0 （8）2 （9）1
2]
（6）-3 （7）x?k?,k?z（10）充分 （11）
31 （12）? （13）x=1 , x=2 （14）高阶
22（15）同阶 （16）二 （17）可去 （18）2 （19）-ln2 （20）y=-2 （21）[?2,1]?(1,2] （22）1 二、计算题
1、（1） (??,?1)?(?1,1)?(1,??)
（2） [0,??) （3）(??,0)?(0,??)
2、（1）不同，定义域不同 （2）不同，定义域、函数关系不同
（3）不同，定义域、函数关系不同 3、（1）偶函数 （2）非奇非偶函数 （3）奇函数 4、（1）y?(sinx2)2 （2）[y?1?x2] （3）[y?e2sinx] 5、（1）[ 2 ] （2）[] （3）-9 （4）0 （5）2 （6）? （7）0 （8）?22 （9）6、（1）w （2）
2??121 22?12?1 （3）1 （4）e （5）e （6）e 5237、（1）2x?x是x?x的低阶无穷小 （2）是同阶无穷小
?0,m?n1?8、（1） （2）?1,m?n
2??,m?n?9、不连续
10、（1）0 （2）1 （3）0 （4）e （5）0 （6）-2 11、a=1
2（B）
1、（1）提示：由0?e?1 解得：x?(??,0] （2）提示：由0?lnx?1解得：x?[1,e]
2、提示：分成x?o和x?0两段求。f[f(x)]?f(x) ，g[g(x)]?0 ，
xf[g(x)]?0 , g[f(x)]?g(x)
4、（1）提示：1?1?11111?1? （2）提示：x(?1)?x[]?x? nnxxx （3）提示：用数学归纳法证明：an?2?2?2
2x?3x?22x?13x?1x??5、提示： 令2?1?t（同阶）
xxx1 （2）提示：除以2x ；e 21 （3）提示：用等阶无穷小代换 ；
26、（1）提示：乘以x?1?x ；
2ax?bx?cxx) （4）提示： (33??xxxxxxa?1?b?1?c?1?????a?1?b?1?c?1???????1????3????????ax?1?bx?1?cx?13x1（3abc）
7、提示：limf(x)?limf(x)?f(0) （a?0）
x?0?x?0?8、x?1是第二类间断点 ，x?0是第一类间断点
（C）
1、解：因为f???x???e?2(x)?1?x ，故?(x)?ln(1?x) ，再由ln(1?x)?0 ，
，x?0 。
得：1?x?1 ，即x?0 。所以：?(x)?ln(1?x)
函数极限习题与解析
