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高考专题突破二 高考中的三角函数与解三角形问题
题型一 三角函数的图象和性质
例1 (2016·山东)设f(x)＝23sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2. (1)求f(x)的单调递增区间；
(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左π?π
平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求g??6?的值． 3解 (1)由f(x)＝23sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2 ＝23sin2x－(1－2sin xcos x) ＝3(1－cos 2x)＋sin 2x－1 ＝sin 2x－3cos 2x＋3－1 π
2x－?＋3－1. ＝2sin?3??
πππ
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
232π5π
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
1212
π5ππ5π
kπ－，kπ＋?(k∈Z)?或?kπ－，kπ＋??k∈Z??. 所以f(x)的单调递增区间是?1212?1212?????π
2x－?＋3－1， (2)由(1)知f(x)＝2sin?3??
把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)， π
x－?＋3－1的图象， 得到y＝2sin??3?π
再把得到的图象向左平移个单位长度，
3得到y＝2sin x＋3－1的图象， 即g(x)＝2sin x＋3－1. π?π
所以g?＝2sin ＋3－1＝3. ?6?6
思维升华 三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后将t＝ωx＋φ视为一个整体，结合y＝sin t的图象求解． 53跟踪训练1 已知函数f(x)＝5sin xcos x－53cos2x＋(其中x∈R)，求：
2(1)函数f(x)的最小正周期；
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(2)函数f(x)的单调区间；
(3)函数f(x)图象的对称轴和对称中心． 55353
解 (1)因为f(x)＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋ 222π13
2x－?， ＝5?sin 2x－cos 2x?＝5sin?3??2?2?所以函数的最小正周期T＝
2π＝π. 2
πππ
(2)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
232π5π
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
1212所以函数f(x)的单调递增区间为
?kπ－π，kπ＋5π?(k∈Z)． 1212??
ππ3π
由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
2325π11π
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
1212
5π11π
kπ＋，kπ＋?(k∈Z)． 所以函数f(x)的单调递减区间为?1212??ππkπ5π
(3)由2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，
32212kπ5π
所以函数f(x)的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
212πkππ
由2x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，
326kππ?所以函数f(x)的对称中心为??2＋6，0?(k∈Z)． 题型二 解三角形
例2 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋3cos A＝0，a＝27，b＝2.
(1)求角A和边长c；
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积． 解 (1)∵sin A＋3cos A＝0， ∴tan A＝－3，
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2π
又0 3 由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A， 1－?， 即28＝4＋c2－2×2c×??2?即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)或c＝4，故c＝4. (2)∵c2＝a2＋b2－2abcos C， ∴16＝28＋4－2×27×2×cos C， ∴cos C＝2AC21 ，∴CD＝＝＝7，∴CD＝BC， cos C227 7 113 ∴S△ABC＝AB·AC·sin∠BAC＝×4×2×＝23， 2221 ∴S△ABD＝S△ABC＝3. 2 思维升华 根据三角形中的已知条件，选择正弦定理或余弦定理求解；在解决有关角的范围问题时，要注意挖掘题目中隐含的条件，对结果进行正确的取舍． 3 跟踪训练2 (2017·北京)在△ABC中，∠A＝60°，c＝a. 7(1)求sin C的值； (2)若a＝7，求△ABC的面积． 3 解 (1)在△ABC中，因为∠A＝60°，c＝a， 7csin A3333 所以由正弦定理得sin C＝＝×＝. a72143 (2)因为a＝7，所以c＝×7＝3. 7由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得 1 72＝b2＋32－2b×3×， 2解得b＝8或b＝－5(舍去)． 113 所以△ABC的面积S＝bcsin A＝×8×3× 222＝63. 题型三 三角函数和解三角形的综合应用 例3如图，某机械厂欲从AB＝2米，AD＝22 米的矩形铁皮中裁剪出一个四边形ABEF加工成某仪器的零件，裁剪要求如下：点E，F分别在边BC，AD上，且EB＝EF，AF 公众号码：王校长资源站
2020届高考数学(文)一轮复习讲义 第4章 高考专题突破2 高考中的三角函数与解三角形问题
