2024-2024中考数学圆的综合-经典压轴题及详细答案
一、圆的综合
1．如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF=ED．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
1，探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明； 2（3）在（2）的条件下，若OF=1，求圆O的半径．
（2）若tanA=
【答案】（1）答案见解析；（2）AB=3BE；（3）3． 【解析】
试题分析：（1）先判断出∠OCF+∠CFO=90°，再判断出∠OCF=∠ODF，即可得出结论； （2）先判断出∠BDE=∠A，进而得出△EBD∽△EDA，得出AE=2DE，DE=2BE，即可得出结论；
（3）设BE=x，则DE=EF=2x，AB=3x，半径OD=即可得出结论．
试题解析：（1）证明：连结OD，如图．∵EF=ED，∴∠EFD=∠EDF．∵∠EFD=∠CFO，∴∠CFO=∠EDF．∵OC⊥OF，∴∠OCF+∠CFO=90°．∵OC=OD，∴∠OCF=∠ODF，∴∠ODC+∠EDF=90°，即∠ODE=90°，∴OD⊥DE．∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线； （2）线段AB、BE之间的数量关系为：AB=3BE．证明如下：
∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO=∠BDE．∵OA=OD，∴∠ADO=∠A，∴∠BDE=∠A，而∠BED=∠DEA，∴△EBD∽△EDA，∴中，tanA=
3x，进而得出OE=1+2x，最后用勾股定理2DEBEBD??．∵Rt△ABDAEDEADBD1DEBE1?=，∴=，
AD2AEDE23x．∵OF=1，∴OE=1+2x． 2∴AE=2DE，DE=2BE，∴AE=4BE，∴AB=3BE； （3）设BE=x，则DE=EF=2x，AB=3x，半径OD=在Rt△ODE中，由勾股定理可得：（∴圆O的半径为3．
32x）2+（2x）2=（1+2x）2，∴x=﹣（舍）或x=2，29
点睛：本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△EBD∽△EDA是解答本题的关键．
2．如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长．
【答案】（1）直线DE与⊙O相切（2）4 【解析】
试题分析：（1）连接OD，∵AD平分∠BAC，∴?EAD＝?OAD，∵OA＝OD，∴?ODA＝?OAD，∴?ODA＝?EAD，∴EA∥OD，∵DE⊥EA，∴DE⊥OD，又∵点D在⊙O上，∴直线DE与⊙O相切 （2）
如图1，作DF⊥AB，垂足为F，∴?DFA＝?DEA＝90?，
∵?EAD＝?FAD，AD＝AD，∴△EAD≌△FAD，∴AF＝AE＝8，DF＝DE，∵OA＝OD＝5，∴OF＝3，在Rt△DOF中，DF＝OD2?OF2＝4，∴AF＝AE＝8 考点：切线的证明，弦心距和半径、弦长的关系
点评：本题难度不大，第一小题通过内错角相等相等证明两直线平行，再由两直线平行推出同旁内角相等．第二小题通过求出两个三角形全等，从而推出对应边相等，接着用弦心距和弦长、半径的计算公式，求出半弦长．
3．定义：有一个角是其邻角一半的圆内接四边形叫做圆内倍角四边形．
（1）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，∠DCB﹣∠ADC=∠A，求证：四边形ABCD为圆内接倍角四边形；
（2）在（1）的条件下，⊙O半径为5． ①若AD为直径，且sinA=
4，求BC的长； 5②若四边形ABCD中有一个角为60°，且BC=CD，则四边形ABCD的面积是 ； （3）在（1）的条件下，记AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求证：d2﹣b2=ab+cd．
【答案】（1）见解析；（2）①BC＝6，②【解析】 【分析】
75375或；（3）见解析 44（1）先判断出∠ADC=180°﹣2∠A．进而判断出∠ABC=2∠A，即可得出结论；
（2）①先用锐角三角函数求出BD，进而得出AB，由（1）得出∠ADB=∠BDC，即可得出结论；
②分两种情况：利用面积和差即可得出结论；
（3）先得出BE=BC=b，DE=DA=b，进而得出CE=d﹣c，再判断出△EBC∽△EDA，即可得出结论． 【详解】
（1）设∠A=α，则∠DCB=180°﹣α．
∵∠DCB﹣∠ADC=∠A，∴∠ADC=∠DCB﹣∠A=180°﹣α﹣α=180°﹣2α，∴∠ABC=180°﹣∠ADC=2α=2∠A，∴四边形ABCD是⊙O内接倍角四边形； （2）①连接BD．
∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°．在Rt△ABD中，AD=2×5=10，sin∠A=据勾股定理得：AB=6，设∠A=α，∴∠ADB=90°﹣α．
由（1）知，∠ADC=180°﹣2α，∴∠BDC=90°﹣α，∴∠ADB=∠BDC，∴BC=AB=6；
4，∴BD=8，根5
②若∠ADC=60°时．
∵四边形ABCD是圆内接倍角四边形，∴∠BCD=120°或∠BAD=30°． Ⅰ、当∠BCD=120°时，如图3，连接OA，OB，OC，OD．
1∠BCD=60°，∴∠CDO=60°，∴AD是⊙O2的直径，（为了说明AD是直径，点O没有画在AD上） ∴∠ADC+∠BCD=180°，∴BC∥AD，∴AB=CD．
∵BC=CD，∴∠BOC=∠COD，∴∠OCD=∠OCB=
∵BC=CD，∴AB=BC=CD，∴△OAB，△BOC，△COD是全等的等边三角形，∴S四边形
ABCD=3S△AOB=3×
32753×5=． 44Ⅱ、当∠BAD=30°时，如图4，连接OA，OB，OC，OD． ∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BCD=180°﹣∠BAD=150°． ∵BC=CD，∴∠BOC=∠COD，∴∠BCO=∠DCO=∴∠OBA=45°，∴∠AOB=90°． 连接AC，∴∠DAC=
1∠BCD=75°，∴∠BOC=∠DOC=30°，21∠BAD=15°． 2∵∠ADO=∠OAB﹣∠BAD=15°，∴∠DAC=∠ADO，∴OD∥AC，∴S△OAD=S△OCD． 过点C作CH⊥OB于H． 在Rt△OCH中，CH=S△AOD=S△BOC+S△AOB=故答案为：15OC=，∴S四边形ABCD=S△COD+S△BOC+S△AOB﹣2215175?×5+×5×5=． 222475375或； 44
（3）延长DC，AB交于点E．
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BCE=∠A=
1∠ABC． 2∵∠ABC=∠BCE+∠A，∴∠E=∠BCE=∠A，∴BE=BC=b，DE=DA=b，∴CE=d﹣c． ∵∠BCE=∠A，∠E=∠E，∴△EBC∽△EDA，∴b2=ab+cd．
CEBCd?cb??，∴d2﹣，∴AEADa?bd
【点睛】
本题是圆的综合题，主要考查了圆的内接四边形的性质，新定义，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
4．如图，AB为⊙O的直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为弧ABD的中点，连接CD，CA．
（1）求证：∠ABD=2∠BDC；
（2）过点C作CH⊥AB于H，交AD于E，求证：EA=EC； （3）在（2）的条件下，若OH=5，AD=24，求线段DE的长度．
【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3）DE?【解析】 【分析】
9. 2（1）连接AD，如图1，设∠BDC=α，∠ADC=β，根据圆周角定理得到∠CAB=∠BDC=α，由AB为⊙O直径，得到∠ADB=90°，根据余角的性质即可得到结论；
（2）根据已知条件得到∠ACE=∠ADC，等量代换得到∠ACE=∠CAE，于是得到结论； （3）如图2，连接OC，根据圆周角定理得到∠COB=2∠CAB，等量代换得到∠COB=∠ABD，根据相似三角形的性质得到OH=5，根据勾股定理得到
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