人教A版高中数学选修4-5讲义及题型归纳(提高)：证明不等式的方法

人教版高中数学选修4-5讲义及题型归纳（提高）：证明不等式的方法人教版高中数学选修4-5讲义及题型归纳（提高）：证明不等式的方法目录

目录 ................................................................................................................................................................ 1 考点一 比较法..................................................................................................................................................... 2 考点二 综合法与分析法 .................................................................................................................................. 3 考点三 反证法与放缩法 .................................................................................................................................. 4 考点四 数学归纳法 ........................................................................................................................................... 6 课后综合巩固练习 .............................................................................................................................................. 8

人教版高中数学选修4-5讲义及题型归纳（提高）：证明不等式的方法考点一 比较法

1．求差比较法：

知道a＞b?a-b＞0，a＜b?a-b＜0，因此要证明a＞b，只要证明a-b＞0即可，这种方法称为求差比较法． 2．求商比较法： 由a＞b＞0?

aa＞1且a＞0，b＞0，因此当a＞0，b＞0时要证明a＞b，只要证明＞1即可，bb这种方法称为求商比较法．

b?R，b?R，1．给出下列命题：①若a，则a?b?ab?ab；②若a，则a?b，a?b，

③若

?3322?a?ma?；b?mbab?，则ln a?ln b； c2c2??2④当x??的最小值为22；其中正确命题的个数为( ?0,?时,sinx?2sinx??A．0个

B．1个

C．2个

)

D．3个

【分析】对于三个命题分别判断，正确的给出证明，错误的能举出反例，是解答这类题目的重要方法，另外记住一些结论对捷达选择或者填空题很有帮助．本题要一一作出解答． 【解答】解：①Qa，

b?R?，

a?b，?a?b?0，

(a?b)2?0，，

?a3?b3?(a2b?ab2)?a2(a?b)?b2(b?a)?(a?b)(a2?b2)?(a?b)2(a?b)?0?a3?b3?a2b?ab2，此命题正确； ?②Qa，b?R，a?b，?b?a?0，

命题

?a?maa?mab(a?m)?a(b?m)m(b?a)??，????0，

b?mbb(b?m)b(b?m)b?mba?ma?不正确；本题可以举出反例如：设a?2，b?3，m?1，可验证命题不正确； b?mbab③反例设a??1，b??2，2?2成立，但是ln a，ln b均无意义；更谈不上ln a?ln b了；

cc22222sinx?2④设t?sinx?(0,1)，则sinx?当且仅当t?即sinx?，?t?…2t??22，sinxttsinxt显然不成立，此命题不正确． 综上可知只有①正确． 故选：B．

人教版高中数学选修4-5讲义及题型归纳（提高）：证明不等式的方法【点评】本题考查了命题的概念和命题的真假判断，结合不等式知识，综合考查了综合法，分析法，反证法，比较作差法等不等式的证明方法；另外对均值不等式的应用题目设计很好地体现了学生容易出现的错误，很有针对性！

1n1*)?，则在m?N时，下列不等式成立的是( ) n?32mn1mmn1m)?() )…() A．(1?B．(1?n?32n?32mn1mmn1m)?() )?() C．(1?D．(1?n?32n?321n1)?，结合选项，即可得出结论． 【分析】根据n…6时，有(1?n?321n1)?， 【解答】解：Qn…6时，有(1?n?32mn1m)?()成立， ?m?1时，(1?n?322．若n…6时，有(1?故选：C．

【点评】本题考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题

考点二 综合法与分析法

1．分析法

从所要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立，这种证明方法称为分析法，即“执果索因”的证明方法． 2．综合法

从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理，论证而得出命题成立，这种证明方法称为综合法即“由因寻果”的方法． 4．求证：7?1?11?5 证明：要证7?1?11?5 只需证7?5?11?1