专题一 “四招”判断函数零点个数
函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕函数零点个数的判断问题，例题说法，高效训练.
【典型例题】
第一招 应用函数性质，判定函数零点个数 例1.已知偶函数f?x??{log4x,0?x?4f?8?x?,4?x?8 ，且f?x?8??f?x?，则函数F?x??f?x??12x在区间
??2024,2024?的零点个数为（ ）
A. 2024 B. 2016 C. 1010 D. 1008 【答案】A 【解析】
当0?x?8时，函数f?x?与函数y?12x图象有4个交点
2024?252?8?2
1
由f?2??log42?111?2?知， 22412x当0?x?2时函数f?x?与函数y?图象有2个交点
故函数F?x?的零点个数为?252?4?2??2?2024 故选A.
第二招 数形结合，判定函数零点个数
例2.【2024届福建省永春一中、培元、季延、石光中学四校高三上第二次联考】定义在R上的函数f?x?满足f?x?2??f?x??1，且x?0,1时， f?x??4； x??1,2时， f?x??x???f?1?x. 令
g?x??2f?x??x?4,x???6,2?，则函数g?x?的零点个数为（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B
∵函数f（x）满足f（x+2）=f（x）+1，即自变量x每增加2个单位，函数图象向上平移1个单位，自变量每减少2个单位，函数图象向下平移1个单位， 分别画出函数y=f（x）在x∈[﹣6，2]，y=
1x+2的图象， 22
∴y=f（x）在x∈[﹣6，2]，y=
1x+2有8个交点， 2故函数g（x）的零点个数为8个． 故选：B．
第三招 应用零点存在性定理，判定函数零点个数
例3.【广西桂林市、贺州市、崇左市2024届高三下学期3月联合调研】已知函数
.
（1）讨论（2）讨论
的单调性； 在
上的零点个数.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
∴当当（2）设
时，时，
在在
上单调递增. 上单调递减，在
，则由（1）知
3
上单调递增.
专题01 “四招”判断函数零点个数-2024年高考数学压轴题之函数零点问题(解析版)
