长春外国语学校2024-2024学年第一学期期末考试高一年级
数学试卷
出题人 ：王云峰 审题人：姜洋
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。考试结束后，将答题卡交回。 注意事项：
1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信 息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书 写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.sin210?的值为（ ）
A．
3311 B. C. ? D. ?
22222.用二分法研究函数f?x??x3?3x?1零点的近似值，第一次计算f?0??0，f?0.5?>0，可得其中一个零点x0?_____，第二次应计算_______. 以上横线上应填的内容为（ ） A.?0 , 0.5?，f?0.25? B.?0 , 1?，f?0.25? C.?0.5 , 1?，f?0.75? D.?0 , 0.5?，f?0.125? 3.设a，b都是单位向量，且a与b的夹角为60°，则|a+b|=( ) A.3
B.3
C.2
D.2
x4.已知集合A?{x|1?2?8}，集合B?{x|0?log2x?1}，则AIB?（ ）
A．{x|1?x?3} B. {x|1?x?2} C. {x|2?x?3} D. {x|0?x?2} 5.一扇形的中心角为60?，所在圆的半径为6 ，则它的面积是（ ） A．6? B. 3? C. 12? D. 9? 6.若a, b是两个平面向量，则下列命题中正确的是 ( ) A.若 ，则或
B.若a与 b共线，则存在唯一实数?，使 C.若a ，则或 D.若，则a与b共线 7.要得到y?3cos(2x?A．右移
?3)的图象，只需将y?3cos2x的图象（ ）
????个单位 B. 左移个单位 C.右移个单位 D. 左移个单位 3366??1?x???x?4?8.给出函数f?x????，则f?log23?等于（ ） ?2??fx?1x?4?????A.
23111 B. C. D. 81924119.若?是△ABC的一个内角，且sin?cos???1，则cos??sin?的值为（ ） 8A．?3555 B．? C．? D． 2222uuuruuuruuur10.已知O为?ABC内一点，且OA?OC?2OB?0，则?AOC与?ABC的面积之比为
( )
A.1∶2 B.1∶3 C.2∶3 D.1∶1
11.函数f(x)?lnx?x?a?1在区间(1,e)内有唯一的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A.(?e,0) B.(?e,1) C.(1,e) D.(1,e)
2222?1x3?()?,x?212.已知函数f(x)??2，若函数g?x??f(x)?k有两个不同的零点，则实4??log2x,0?x?2数
k的取值范围是（ ）
A.0?k?1 B.k?1 C.
33?k?1 D.k?1或k? 44 第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分.
sin??cos?的值为________________；
sin??cos?214.函数y?log1(x?1)的单调递增区间是_____________________；
13.若tan??2，则
215.向量 a=?2,3?在向量b=?3,?4?方向上的投影为_________；
?1?16.已知定义域为R的奇函数f?x?在?0,???上是增函数，且f????0，则不等式
?2?f?log4x?>0的解集是__________.
三.解答题：本题共6小题，17题10分,18-22每小题12分. 17.（本小题满分10分）已知函数f(x)?log2（1）求函数的定义域； （2）判断并证明函数的奇偶性.
18.（本小题满分12分）已知点A?1,?2?和向量a=?2,3?
x?1 x?1uuuruuur（1）若向量AB与向量a错误！未指定书签。同向，且AB?213，求点B错误！未指
定书签。的坐标；
（2）若向量a与向量b=??3,k?的夹角是钝角,求实数k的取值范围.
19.（本小题满分12分）已知所示：
y图象的一部分如图（1）求（2）求
的解析式；
的单调增区间及函数图象的对称轴．
2 ?2 ? 37?12 x20.（本小题满分12分）已知两个不共线的向量a，b的夹角为?，且|a|?2，|b|?1. （1）若a+b与a－3b垂直，求tan?；
（2）若xa+b与3a－2b平行，求实数x并指出此时xa+b与3a－2b同向还是反向.
21．（本小题满分12分）已知幂函数f(x)?(m?m?1)x无 交点.
（1）求f(x)的解析式；
（2）解不等式f(x?1)?f(x?2).
22．（本小题满分12分）已知f?x?=?sinx?m?2cosx?1?，x?[?231(1?8m?m2)2的图象与x轴和y轴都
?2?3,3]
（1）当函数f?x?的最小值为?1时，求实数m的值； （2）在（1）的条件下求函数f?x?的最大值及相应的x的值.
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数学试卷参考答案
一、选择题 题号 答案 1 C 2 A 3 B 4 B 5 A 6 D 7 C 8 D 9 C 10 A 11 A 12 C
二.填空题 13.
16?1? 14. (??,?1) 15. ? 16. ?,1?U?2,??? 35?2?三.解答题
17.解：（1）函数应满足：
x?1?0 ?????????（2分） x?1解得：x??1或x?1 ?????????（5分） 所以函数的定义域为???,?1?U?1,???. ?????????（6分） （2）由（1）知定义域关于原点对称 ?????????（7分）
?x?1x?1x?1?x?1?又f(?x)?log2（9?log2?log2???log??f(x)?????????2??x?1x?1x?1x?1??分）
所以函数是奇函数. ?????????（10分）
?1uuur18.解：（1）设B?x,y?，则AB??x?1,y?2?，由已知得：
??3?x?1??2?y?2??0 ?????????（2分） ?22???x?1???y?2??52解得：?
?x?5?x??3或? ?????????（4分）
?y?4?y??8
uuur?x?5当?时，AB??4,6??2?2,3?，与a同向， ?y?4uuur?x??3当?时，AB???4,?6???2?2,3?，与a反向
y??8?故B?5,4? ?????????（6分） （2）令agb ??6?3k?0?k?2 ?????????（9分） 当a与b共线时，2k?9?0?k??9 ?????????（11分） 29??9??U??,2? ?????????（12分） 2??2?所以a与b的夹角是钝角时，k????,???19.解：（1）由图象可知：A?2 ?????????（1分）
T7???2?????T??，又T??????2 ?????????（3分） 41234?所以f?x??2sin?2x??? 又f??7??12??7???7??，所以?2sin????2sin?????????1
66?????Q0????,?7?7?13?7?3????????????? ?????????（5分） 666623??所以f?x??2sin?2x?（2）令???? ?????????（6分） 3??2?2k??2x??3??2?2k?，解得：?5???k??x??k? 1212所以函数的增区间为??令2x???5???k?,?k???k?Z? ?????????（9分）
12?12??3??2?k??x??12?k? 2所以对称轴为x?
?12?k??k?Z?. ?????????（12分） 220.解：（1）因为a+b与a－3b垂直.
所以（a+b）·（a－3b）= a2－2a·b－3b2=0 ?????????（2分）
4?2?2cos??3?0?cos??Q???0,??,?sin??1 ?????????（4分） 415?tan??15 ?????????（6分） 4（2）因为xa+b与3a－2b平行，所以存在??R使得：
（xa+b）=?（3a－2b） ?????????（8分） 又a与b不共线，故?因为???分）
21. 解：（1）由已知f?x?是幂函数，m?m?1?1?m??0,?1? ?????????（2分）
3?x?3?13????,x?? ?????????（10分）
22?1??2?13?0，所以x??，此时xa+b与3a－2b是反向. ?????????（1222又f?x?的图象与x轴和y轴都无交点，经检验m?1，此时f(x)?x.?????????（6分）
?4（2）f(x)?x是偶函数且在?0,???递减，所以要使得f(x?1)?f(x?2)只需
?4x?1?x?2，解得：x?1， ?????????（9分） 2又f?x?的定义域为xx?0，所以x??1且x?2 ?????????（11分） 综上，不等式的解集为?xx?????1 ,x??1? ?????????（12分）
222.解：（1）f?x?=?1?cos2x?m?2cosx?1??cos2x?2mcosx??m?1??????????（2分）
设t?cosx，Qx?[????2?3,?1?],?t???,1? 3?2??1?f?x?=g?t??t2?2mt??m?1?,t???,1? ?????????（4分）
?2?对称轴t??m ①当?m??11，即m?时， 221?1?1f?x?min=g?????m??m?1???1?m?，不合题意,舍去 ?????????（5
8?2?4分）
②当?m?1，即m??1时
f?x?min=g?1??1?2m??m?1???1?m??1 ?????????（6分）
③当?11??m?1，即?1?m?时
22f?x?min=g??m??m2?2m2??m?1???1?m?0或m??1（舍） ?????????（7分）
综上m?0或m??1 ?????????（8分） （2）①m?0时，f?x?=g?t??t2?1,t????1?,1? 2??可见f?x?的最大值为g?1??0，此时cosx?1?x?0 ?????????（10分） ②m??1时，f?x?=g?t??t2?2t,t????1?,1? ?2?可见f?x?的最大值为g??
512??1?1?????????（12分） ，此时??1?cosx???x??24423??
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