第四节 正方形问题
【知识点拨】
1、正方形的性质：四个角都是直角、四条边均相等、对角线相等且相互垂直平分、每一条对角线平分一组对角。
2、解决方法：正方形问题通常也是转化为三角形问题来解决。如求正方形的边长，可利用勾股定理列方程来求；证明两条线段相等，需证明现两线段所在三角形全等；在解题时，要充分利用正方形的性质。
【赛题精选】
例1、若将正方形分成K个全等的矩形，其中上、下各横排两个，中间竖排若干个，则K的值为 （ ）（2001年全国联赛题）
A、6 B、8 C、10 D12
例2、在线段GB的延长线上，四边形ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为7cm2、11 cm2。求△CDE的面积。（2002年北京市中学生竞赛题）
例3、正方形ABCD中，E为BF上一点，四边形AEFC恰为一菱形。 求∠EAB的度数。
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例4、正方形ABCD中，DC的中点为E、F为CE的中点。 求证：∠DAE＝
1∠BAF。 2
【说明】要证一个大角是一个小角的n倍，或证一个小角是一个大角的n分之一，可把大角n等分，然后再证其中的一个等于小角。
例5、EFGH是正方形，ABCD的内四边形，∠BEG、∠CFH都是锐角，已知EG＝3，FH＝4，四边形EFGH的面积为5。
求正方形ABCD的面积。（2000年全国联赛题）
例6、正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成四个矩形，P是EF、GH的交战，若矩形PFCG的面积恰是矩形AGPE面积的2倍。
试确定∠HAF的大小并证明之。
0
【说明】对于正方形问题，常将某个三角形绕正方形的某个顶点旋转90，将分散的条件集中，使问题得到解决。本题中证FH＝FM是利用代数计算的方法证明的，这种方法是证明线段、角相等的常用方法。
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例7、在正方形ABCD内任取一点E，连接AE、BE，在△ABE外分别以AE、BE为边作正方形，AEMN、EBFG，连接NC、AF。
求证：NC＝AF。
【说明】正方形中的证线段相等，证角相等常利用三角形全等来证，而正方形的性质常为证全等提供方便。
例8、如图，∠MON＝900，点A、D在OM上，点B、C在ON上，且AD＝BC，点E、F、G、H分别是AB、AC、DG、BD的中点。
求证：四边形EFGH是正方形。
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【针对训练】
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初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全（配PDF版）-第10章-四边形的趣味问题
