因动点产生的直角三角形问题
动点问题是近年來中考的一个热点问题，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题, 变为静态问题来解.一般方法是，首先根据题意，理清题目中两个变量X、y的变化情况, 并找出相关常量；第二，按照图形中的儿何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把相 关的量用一个自变量的表达式表达出来；第三，确定自变量的取值范围，画出相应的图象.
例1 如图1,抛物线y= — Ox?—丄x + 3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左
8 4 侧)，与y轴交于点C.
(1) 求点A、B的坐标；
(2) 设点D为己知抛物线的对称轴上的任意一点，当AACD的面积等于AACB的面积 时，
求点D的坐标；
(3) 若直线/过点E(4, 0), M为直线/上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三 角形
有且只有三个时，求直线/的解析式.
考点剖析本题是一道二次函数的综合题，考查求函数图象与坐标轴的交点坐标和对 称轴，解一元二次方程，求三角形的面积，求过两点的直线解析式，直角三角形的定义， 两点间的距离计算、对称点的坐标以及分类讨论的数学思想.求出抛物线与x轴的交点及 其对称是解题的关键；掌握分类讨论的思想是完全解决这道的核心“工具”.
解题思路 ⑴直接设y=0,解一元二次方程即可得答案；(2)Z\\ACB的面积可以说是 已知的，然后由“ AACD的面积等于AACB的面积”，可求岀点D的坐标，注意点D可 能在AC的上方，也可能在其下方，要分类讨论；(3)条件“以A、B、M为顶点所作的直 角三角形有且只有三个”隐含的意义就是只能是这三个顶点分别为直角三角形的直角顶 点，据此，可以先画出相应的直线，然后由待定系数法求解.
解(1)易得抛物线与x轴的交点坐标为A(—4, 0)、B(2, 0),对称轴是直线x= — l；
(2)AACD与厶ACB有公共的底边AC,当AACD的面积等于AACB的面积时，点B、 D
到直线AC的距离相等，
如图2,过点B作AC的平行线交抛物线的刈?称轴于点D,在AC的另一侧有对应的
点D'.
设抛物线的对称轴与x轴的交点为G,与AC交于点H. 由 BD〃AC,得ZDBG=ZCAO,
.DG CO _ 3
3 9
???DG= — BG= — ,
4 4
9
点D的坐标为（1,
4
???AC〃BD, AG = BG, AHG = DG. ?7
rflj D'H = DH, ???DG = 3DG=—,
4
27
所以D的坐标为（1,—）；
4
(3)如图3,过点A、B分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线I总是有交点的，即2
个点M.
以AB为直径的OG如果与直线I相交, 就那么就有2个点M；如果圆与直线/相切, 只有1个点M T.
连结GM,那么GM丄/. 在 RtAEGM 中，
GM = 3, GE=5, ???EM=4；
在 RtAEMjA 中，
图3
AE=8, lanZM]EA=——=—,
AE 4
?：M]A=6.
所以点Mi的坐标为(一4, 6), 过Mi、E的直线/为
y= —— x + 3.
4
3
根据对称性，直线x还可以是y =卞+ 3?
考点伸展 第(3)题中的直线/恰好经过点C,因此可以过点C、E求直线/的解析式. 在 RtAEGM 屮，
GM = 3, GE=5. A EM=4：
在 RtAECO 中，
C0 = 3, E0=4,, ???CE=5. AAEGM^AECO, ZGEM=ZCEO.
所以直线CM过点C.
规律总结 解决函数类综合题，通常都是先根据己知条件求出“关键点”和“关键线”, 比如本题中A、B的坐标和对称轴.当然，本题命题时已经注意到了这一点，并且设计成 一个小问题了，如果题中没有这一问，一般也需要先求11!关键点的坐标；当题中设计两个 儿何图形之间具有某种关系时，比如本题中设计两个三角形面积相夸 其实就是一个已知条件，通过两者间的关系建立模型，进而求解.
例2 如图4,在平面直角坐标系中，
反比例函数与二次函数y=k (x2+x-l)的图象交于点4 (1, k) 和点 B ( — 1, —k).
/
图4
*
y
牛 纟
(1) 当k=—2时，求反比例函数的解析式；
(2) 要使反比例函数与二次函数都是y随着x的增大而增大，
求k应满足的条件以及x的取值范围；
(3) 设二次函数的图象的顶点为Q,当AABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k 的值.
考点剖析 本题考查了反比例函数性质、二次函数性质、待定系数法、勾股定理、数 形结合思想等，是一道难度较大的综合题.将“AABQ是直角三角形”这一条件与反比例 函数图象的中心对称性结合是解题的关键.
解题思路(1)用待定数法求反比例函数的解析式：(2)根据k的值确定反比例函数的 增减性和二次函数图象的开口方向，根据对称轴公式“x=—舟”确定x的取值范围；⑶
根据反比例函数图彖关于原点对称，将“AABQ是以AB为斜边的直角三角形”等价转化 为
“OQ=OA”，进一步得OQ2=OA2,通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求解. , 2
解⑴易得y=——；
x
(2) 在反比例函数y=纟中，如果y随x增大而增大，那么k<0.
当k<0时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y随x增大而增大， 因为抛物线
y=k (x2+x+1) =k(x + )2— — k 的对称轴是直线 x=—丄.
4
2
所以当kvO,且x<-|时，反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大；
(3) 抛物线的顶点Q的坐标是(一丄，--k)?A、B关于原点O中心对称，当OQ二
2 4 OA = OB时，Z\\ABQ是以AB为斜边的直角三角形，由OQ2=OA2,得
（1] 2 + 1 2丿 < 4 ） 解得kj = - V3 （如图5）,
3
3 2 = l2 + k2.
k? = — — V3 （如图 6）.
3
考点伸展 如图7,己知经过原点O的两条直线AB与CD分别与双曲线y= - (k>0)交 x 于点A、B和点C、D,那ZAB与CD互相平分，所以四边形ACBD是平行四边形.
问平行四边形ABCD能否成为矩形？能否成为正方形？
图7 图8
如图8,当A、C关于直线y = x对称时，AB与CD互相平分且相等，四边形ABCD 是矩形.
因为A、C可以无限接近坐标轴但是不能落在坐标轴上，所以0A与0C无法垂直， 因此四边形ABCD不能成为正方形.
规律总结（1）用待定系数法求出函数表达式的一般步骤：①写出函数表达式的一般形 式；②把已知条件（自变量与函数的对应值）代人函数表达式中，得到关于待定系数的方 程或方程组；③解方程（或方程组）求出待定系数的值，从而写出函数表达式.
（2） 由函数图象的定义可知，若点在图象上，点的坐标就满足函数关系式；反之，点的 坐
标满足函数关系式，点就在函数图象上，从而建立方程（组）.
（3） 要满足几个条件，应取满足每个条件的解的公共部分.
（4） 对条件进行等价转换，或找出使某一条件成立的另一个条件，是对题目进行分析的
基本方法.
中考数学复习指导：因动点产生的直角三角形问题.doc
