§2.3 指数与指数函数
考纲解读
考点 指数与指数函数 内容解读 1.比较幂的大小 2.指数函数图象和性质的运用 要求 B 五年高考统计 常考题型 预测热度 2013 2014 2015 2016 2017
分析解读 指数函数是基本函数之一,高考一般考查其基本性质,有时候会在解答题中考查综合运用.
五年高考
考点 指数与指数函数
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1.(2017课标全国Ⅰ理改编,11,5分)设x,y,z为正数,且2=3=5,则2x,3y,5z的大小关系为(用“<”连接). 答案 3y<2x<5z
2.(2015江苏,7,5分)不等式 - <4的解集为. 答案 {x|-1 |x-m| 3.(2015天津改编,7,5分)已知定义在R上的函数f(x)=2-1(m为实数)为偶函数.记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为. 答案 b>a>c x 4.(2015山东,14,5分)已知函数f(x)=a+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=. 答案 - 5.(2016江苏,19,16分)已知函数f(x)=a+b(a>0,b>0,a≠1,b≠1). (1)设a=2,b= . ①求方程f(x)=2的根; ②若对于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值; (2)若0 x-xx2x ①方程f(x)=2,即2+2=2,亦即(2)-2×2+1=0, x2x 所以(2-1)=0,于是2=1,解得x=0. 2x-2xx-x22 ②由条件知f(2x)=2+2=(2+2)-2=(f(x))-2. 因为f(2x)≥mf(x)-6对于x∈R恒成立,且f(x)>0, 所以m≤ x -x x x 7题 19题 5分 16分 填空题 ★★☆ 解答题 对于 x∈R恒成立. 而 =f(x)+≥2 =4,且=4, 所以m≤4,故实数m的最大值为4. 00 (2)因为函数g(x)=f(x)-2只有1个零点,而g(0)=f(0)-2=a+b-2=0, 所以0是函数g(x)的唯一零点. xx 由0 从而对任意x∈R,h'(x)>0,所以g'(x)=h(x)是(-∞,+∞)上的单调增函数. 于是当x∈(-∞,x0)时,g'(x) xxx2x2 因而函数g(x)在(-∞,x0)上是单调减函数,在(x0,+∞)上是单调增函数. 下证x0=0. 若x0<0,则x0< <0,于是g 又 <0,所以x1<0,与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾. 若x0>0,同理可得,在 和logb2之间存在g(x)的非0的零点,矛盾. 因此,x0=0. 于是- =1,故ln a+ln b=0,所以ab=1. 三年模拟 A组 2016—2024年模拟 基础题组 考点 指数与指数函数 x-x2 1.(2024江苏徐州铜山中学期中)已知函数f(x)=e-e+1(e为自然对数的底数),若f(2x-1)+f(4-x)>2,则实数x的取值范围是. 答案 (-1,3) |x-a| 2.(2024江苏金陵中学高三月考)已知函数f(x)=e(a为常数),若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,则a的取值范围是. 答案 (-∞,1] 2x 3.(苏教必1,三,1,3,变式)若函数y=(a-1)在(-∞,+∞)上为减函数,则实数a的取值范围是. 答案 (- ,-1)∪(1, ) 4.(2016江苏苏州一模,11)函数f(x)= 的值域为. - 答案 (-∞,1] x-x 5.(2017江苏苏州期中,15)已知函数f(x)=3+λ 3(λ∈R). (1)若f(x)为奇函数,求λ的值和此时不等式f(x)>1的解集; (2)当x∈[0,2]时,不等式f(x)≤6恒成立,求实数λ的取值范围. x-x 解析 (1)∵f(x)=3+λ 3为奇函数, -xxx-xx-xx-xx-x ∴f(-x)+f(x)=3+λ 3+3+λ 3=(3+3)+λ(3+3)=(λ+1)(3+3)=0, x-x ∵3+3>0,∴λ+1=0,即λ=-1. x-x 此时f(x)=3-3, x-xx2x 由f(x)>1,得3-3>1,即(3)-3-1>0, 解得3< x x - (舍)或3> ,即 x>log3 . ∴不等式f(x)>1的解集为 x -x ∞ . x (2)由f(x)≤6得3+λ 3≤6,即3+ ≤6, 令t=3,x∈[0,2],则t∈[1,9], 原不等式等价于t+ ≤6在t∈[1,9]上恒成立, 亦即λ≤6t-t在t∈[1,9]上恒成立, 2 令g(t)=6t-t,t∈[1,9], 当t=9时,g(t)取得最小值g(9)=-27, ∴λ≤-27. 2 x B组 2016—2024年模拟 提升题组 (满分:50分 时间:25分钟) 一、填空题(每小题5分,共20分) 1.(苏教必1,三,1,7,变式)关于x的方程 =答案 - 2.(苏教必1,三,1,8,变式)设函数f(x)= - 有负数根,则实数 - a的取值范围为. 若f(a)<1,则实数a的取值范围是. 答案 (-3,1) aba+babca+b+c 3.(2017江苏海安高级中学阶段检测,12)若实数a,b,c满足2+2=2,2+2+2=2,则c的最大值为. 答案 log2 4.(2016江苏南京、盐城一模,14)设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)=2+ ,设g(x)= y=g(x)-t有且只有一个零点,则实数t的取值范围是. 答案 - 二、解答题(共30分) xxsts+t 5.(2017江苏泰州姜堰期中,17)已知函数f(x)=4-2,实数s,t满足f(s)+f(t)=0,设a=2+2,b=2. (1)当函数f(x)的定义域为[-1,1]时,求f(x)的值域; (2)求函数关系式b=g(a)(无需求函数g(a)的定义域). 解析 (1)令m=2,当x∈[-1,1]时,m∈ , 函数可化简为h(m)=m-m,易知h(m)在 上单调递增,所以h(m)的值域为 - , 2 x x 若函数 - ∴当定义域为[-1,1]时,f(x)的值域为 - . (2)由f(s)+f(t)=0可得4-2+4-2=0, s+tst 化简得 -2 2-(2+2)=0, 因为a=2+2,b=2,所以a-2b-a=0,即b= - ,所以g(a)= - . s t s+t 2s s t t 6.(2016江苏淮阴中学期中,19)已知函数g(x)=ax-2ax+1+b(a>0)的定义域为[2,3],值域为[1,4],设f(x)= . 2 (1)求a,b的值; xx (2)若不等式f(2)-m 2≥0在[-1,1]上恒成立,求实数m的取值范围; (3)若f(|2-1|)+k - -3k=0有三个不等的实数解,求实数k的取值范围. x 解析 (1)g(x)=a(x-1)+1+b-a,因为a>0,所以g(x)在区间[2,3]上是增函数,故 解得 2 (2)由已知及(1)可得f(x)=x+ -2,所以f(2)-m 2≥0可化为2+ -2≥m 2,所以1+ -2 ≥m,令u= ,则 x x x x m≤u-2u+1. 因为x∈[-1,1],所以u∈ ,记h(u)=u-2u+1,因为u∈ ,所以h(u)min=0,由不等式在[-1,1]上恒成立得 2 2 m≤h(u)min,所以m的取值范围是(-∞,0]. x (3)由2-1≠0,得x≠0.
江苏专版2024版高考数学一轮复习第二章函数2.3指数与指数函数讲义
