有限元方法超收敛性综述
专业方向 计算数学 学号 082111026 姓名 何果
一、有限元方法简介
有限元法的基本思想是将结构离散化，用有限个容易分析的单元来表示复杂的对象，单元之间通过有限个节点相互连接，然后根据变形协调条件综合求解。由于单元的数目是有限的，节点的数目也是有限的，所以称为有限元法（Finite Element Method）。在19世纪末及20世纪初，数学家瑞雷和里兹首先提出可对全定义域运用展开函数来表达其上的未知函数。1915年，数学家伽辽金提出了选择展开函数中形函数的伽辽金法，该方法被广泛地用于有限元。1943年，数学家库朗德第一次提出了可在定义域内分片地使用展开函数来表达其上的未知函数。这实际上就是有限元的做法。
有限元方法是解偏微分方程数值解一中行之有效的数值计算方法，广泛应用与科学与工程计算各领域，它已经取得了巨大的成功。冯康先生在1965年著名的论文《基于变分原理的差分格式》中第一次独立阐明了有限元方法的实施数学实质和理论基础，这是第一次系统的采用连续的工具特别是偏微分方程的工具来处理离散化的技术，更确切地说，有限元法就是为了对一些工程问题求得近似解的一种数值方法，从数学的角度来讲，有限元法是从变分原理或加权残数法出发，通过区域剖分和分片插值，通常是分片多项式插值，把偏微分方程的求解化为线性方程组的求解。
然而，直接从有限元解计算所得的导数在单元边界不连续且整体精度不高，网格加密呵有限元次数增加能适当改善精度，然而随着网格的加密和多项式次数的提高，有限元方法产生的线性代数方程组的阶将暗几何级数增长，但是计算机技术发展的速度总是赶不上有限元方法对它的这种需求。因而怎样对有限元方法所得到得数值结果事后进行某种加工（这种加工工作量极小）来提高有限元解及其导数的精度是有限元研究的一项重要内容。在这一方面前辈们已经做出的很多出色的工作。
二、有限元的超收敛性历史回顾和当前进展
有限元的超收敛现象最早由工程师发现，早在1967年ZienkiewiczCheung就在《The finite element in structural and continuum mechanics》中指出在计算在计
算中发现线性有限元解得导数在某些特殊点上有特别高的精度。这种奇特的现象后来被Douglas-Dupont称为有限元的超收敛性。通常，这些特殊的点称为应力佳点，不久还发现有限元本身在一些特殊点上也有超收敛性，这些特殊的点称为位移佳点。应力佳点和位移佳点统称为超收敛点。
超收敛的意义是非常明显的。利用超收敛性质可以在不大幅增加计算量和存储量的情况下显著地提高有限元解及其导数的精度，超收敛还是构造有限元渐进准确后验误差指示子的有力工具。
1969年，前苏联人Oganesjan-Ruhovets对线性三角元（直角元）得到一个重要的估计（第一型弱估计）
a(uh?uI,v)?a(u?uI,v)?O(h2)u
3,2hv1,2, ?v?S0(?)从而得到
uh?uI1,2?O(h2)
后来，这个公式被林群称之为有限元的超逼近。尽管当时Oganesjan-Ruhovets并
没有直接得到逐点的超收敛估计，但是这项工作对开辟研究有限元问题的新途径有益的。然而这样的工作至少8年没有被人注意，直到1977年和1978年才分别由捷克人Zlamal和我们中国人陈传淼--朱起定各独自地发现。从此开启了有限元收敛研究二十多年的蓬勃发展。国际上研究超收敛已30多年，我国学者78年以独立与国外证明了超收敛性，随后在长达20多年的时间里做了深入系统的研究，建成了具有中国特色的超收敛理论方法体系。在芬兰（1996、主席Krizek,Neittaamaki）和美国（2000，主席Babusk，Wahlbin）曾分别召开过两次有限元超收敛国际会议，特邀中国林群，陈传淼和黄云清报告。两次会议都充分中国学者的开创性工作，并公认中国超收敛学派是国际三大学派之一，另两个学派是美国Ithaca和Texas学派。
有限元超收敛的研究自七十年代起至今方兴未艾，现有的研究工作，基本遵循两种途径：
一是找出有限元插值逼近的超逼近点，然后利用插值弱估计等手段导出有限元及其导数本身 具有的超收敛性质，也就是所谓的有限元天然超收敛性。这一方面的工作已经做得比较精致，国际上公认的有限元超收敛三大学派（美国的Ithaca,Texas及中国学派）都做出了很大的贡献，其结果已经写入多本专著，如陈传淼的《有限元方法及其高精度分析》，林群和宁宁的《高效有限元构造与分
析》，等等。
在中国，最先以陈传淼、朱起定为代表，提出了“单元合并”技巧及后面发展的单元分析方法，解决了两个基本估计并得到相应的一些超收敛结果，是中国超收敛研究的先行者；以林群、朱起定为代表提出了“离散Green函数-两个基本估计-渐进展开”框架，奠定了解决逐点超收敛性、外推、插值处理、校正等问题的理论基础。
1982年，在 “北京中法有限元国际讨论会”上，朱起定综合分析了国内外已有的超收敛结果，把有限元超收敛估计归结为两个基本估计（弱估计）：
a(uh?uI,v)?O(hp?1)v1,q
a(uh?uI,v)?O(hp?2)vh ?v?S0(?),1?q?2 2,q其中p为有限元次数。利用离散Green函数的基本估计，妥善地给出了解决逐点超收敛问题的基本框架——“离散Green函数——两个基本估计”框架。
1985年朱起定教授建立了一套完整的离散Green函数理论，总结了中国有关于天然超收敛性的全部工作，写成了“有限元超收敛理论”的第一份讲义，此讲义在全国广泛流行，1986年林群院士将他的“渐进展开式——外推”的一些成果编入该讲义的第六章再次散发全国。1989年朱起定与林群共同完成了同名专著《有限元超收敛理论》。这是国际上第一本全面系统地阐述关于二阶椭圆问题的有限元超收敛理论的专著。
在美国，以Schatz、Sloan、Wahlbin为代表形成了Ithaca学派，在他们确立的内估计理论的基础上，利用“局部对称处理技巧”得到一个较普遍的超收敛结果，它适用于所有二阶椭圆边值问题。
Texas学派的代表人物是有限元研究的元老Babuska，他们基于计算机搜索系统研究了有限元的超收敛性，不仅检验了已有的超收敛理论结果，还获得了许多新的结果，为广大理论工作者提供了大量的崭新的课题。
二是利用各种后处理技术来导出经过后处理的有限元解得超收敛性质。值得一提的是，在20世纪80年代，中国人在校正，外推及插值处理等方面做出了很多出色的工作。
实际上，直接从有限元解计算所得出来的应力场在单元边界上不连续且精度
不高。因此如何利用有限元的天然超收敛性质来改善有限元的精度便成了许多人关心的问题。为获得更高精度的解，目前流行的后处理技术有： 1、平均和局部插值技术
自二十世纪六十年代有限元方法被用于工程与科学技算中伊始，为获得更理想的结果，节点导数的平均就自然地被用于实际计算中去。事实上，早期（二十世纪七十年代末）的超收敛结果大多是在平均意义下得到的。虽然这种方法是如此原始、直观，但是它的成功与超收敛点的存在确实密切相关的。之后各种形式的平均和局部投影技术都被用来改善有限元解及其导数的精度。
2、整体投影技术
改善有限元的精度的另一个比较直观的方法是对有限元节点导数值作整体
C0连续的插值（一般来说插值基函数与有限元计算中的基函数一致）或其他整体投影。但是这样做运算量太大，而且对二次元这样做精度没有明显的提高。
3、外推技术
有限元外推是有限元发展的一个重要方面。1983年，林群-吕涛-沈树明运用“离散Green函数——两个基本估计”框架思想，提出了“离散Green函数——渐进展开式”的新框架，利用一个渐进展开式（对一次元）：
ha(uh?uI,v)?Ch?D4uvdxdy?O(h4)v1,1 ?v?S0(?)
?D和离散Green函数的几个估计解决了困难的二维外推问题，从而开创了对有限元的外推等一系列问题的系统研究，之后有限元外推经过林群及其合作者吕涛、沈树明、陈传淼、朱起定、Rannacher、Blum、许进超、王军平等的进一步发展，这方面文献有如：《有限元的预处理与后处理理论》。
4、超收敛单元片应力回复技术
1987年Zienliewicz-Zhu提出了一种基于后处理技术的误差估计方法——ZZ方法，并于1992年完整系统的提出了超收敛单元片应力回复技术（Super converence Patch Recovery），简称SPR技术。由于它具有计算简单，效果显著，易于理解，和现有的有限元应用软件接口方便等等特点，因此一经提出就受到了工程界的广泛欢迎，并被Babuska等人认为是用于渐进准确的后验估计效果最好的技术之一。自此，有限元后处理技术从理论研究走向实际应用，进入了一个全
新的发展阶段。
该技术的基本思想是在单元片（由围绕公共节点z0的所有单元所组成）上利用几个样本点进行最小二乘曲面拟合以获得节点z0及其他点的应力的恢复值，其中所选取的这些样本点基本上是应力的超收敛点或高精度点。在一致剖分意义下，无论是一维还是二维情形，对偶次有限元利用SPR技术都可以获得节点应力的强超收敛结果，即比整体最优收敛阶高两阶的精度；而对奇次有限元获得了超收敛结果，但遗憾的是未能获得强超收敛结果。
SPR技术提出以后，在理论上Z.M. Zhang，J.Z.Zhu，B.Li等人已经分别对两点边值问题、二维矩形元、三角形线性元证明了利用SPR技术得到的一系列结论，并对其结论从理论上给予了某些推广。
2001年张铁提出了“导数小片插值恢复技术”。这种技术可以用于计算有限元内节点处的导数的近似值，并且在小片恢复区域上既有整体超收敛性。在一定得条件下，利用这种技术甚至可以获得几点的强超收敛性。
2003年朱起定和赵庆华对两点边值问题给出了一个新的校正格式，利用投影型插值分别得到了应力和位移O(h收敛结果。
回顾单元分析法历史。 对直角三角形网络上的线性有限元uh 与线性插值
p?2)和O(hp?3)（p为有限元次数）的强超
uI,1969年OGANESYAN-RUKHOVETZ证明了一个超收敛估计uh?uI1,??O(h2) ,
但他们没有导出实用的超收敛结果. 1977 年ZLAMAL 研究了n = 1 ,2 次矩形元，在所有单元的n ×n阶Gauss 点上得到了梯度Duh 的超收敛结果。 在中国，陈传淼(1978) 首次研究了三角形线元梯度的超收敛性，陈传淼、朱起定(1978) 研究了一般二阶方程1 ，2 次矩形元梯度的超收敛性。 陈传淼研究了任意次一维元(1979) 及任意矩形元(1981) 的函数及梯度的超收敛性。朱起定(1981) 还研究了三角形二次元。此后，许多中国学者投入了这种研究，如林群、吕涛、许进超、黄云清、杨一都等等。这样，在中国逐渐形成了单元正交分析方法。我们在思想方法上有两个主要贡献：①对多种类型单元，成功地构造了相应的单元正交展开及所需的超接近函数uI。②在多维情形，为消除单元边界上的线积分，提出了单元合并消除技术，并导出弱估计。这些目前已成为研究超收敛的基本技巧而被广
有限元方法超收敛性综述
