精品 试卷1
以6÷3＝2为例，6能够被3整除，也能被2整除，因此，对6来说，3和2都是它的约数。如果换成乘法算式：3×2=6，对于乘积（6）来说， 3和2都是它的因数。由此可见，只有在“整除”的范畴内，才能谈得上约数，而在乘法中，因数早已经存在了。
事实上，6除了能被3和2整除外，还能够被1和6整除，也就是说，6共有1、2、3、6四个约数。至于3×2=6，3和2固然是6的因数；但1×6=6，1和6也是6的因数，这是两个不同的乘法算式，因此，绝不能说成6有1、2、3、6四个因数，否则，1×2×3×6=36，其乘积就不是6，而是36了。
约数与因数的另一个区别，还在于各自的应用范围上。约数的应用范围是有限的，它只存在于“数的整除性”这部分知识当中，为学习“公约数”和“最大公约数”做好基础知识上的准备。因数的应用范围则比较广泛，无论整数、小数、分数、百分数，以及到中学后所接触到的负数，只要出现了乘法，就存在着因数的概念。
例如：在小数中2.4×0.8=1.92，2.4与0.8都是1.92的因数。
在负数中（-5）×7=35，-5和7都是-35的因数。
凡此种种，都充分说明：约数与因数是两个不同的概念，是不能等同的。
158.质数一定是奇数吗？偶数一定是合数 吗？
质数与奇数，偶数与合数涉及到两组不同的数学概念。质数与合数是相互依存的，奇数与偶数也是相互依存的。因此，质数不一定是奇数，偶数也不一定是合数。
这是因为：一个数只有1和它本身两个约数的，这样的数叫做质数（也叫做素数）。而不能被2整除的数叫做奇数。这两个概念的内涵不同，一般来说，是质数的也都是奇数，如：3、13、29、37……。这些数既是质数，也都是奇数。但有一个数是例外的，这就是“2”。2的约数只有1和它本身，因此，它是质数；但2能被2整除，不符合奇数的定义，所以，2不是奇数。按照数学的严密性语言来说：“除2以外的质数都是奇数”，这样的判断才是正确的。
还必须看到，“除2以外的质数都是奇数”这个结论虽然正确无误，但反过来说“除2以外，奇数都是质数”则是错误的，如：27、35、143……这些数，虽然都是奇数，但这些数除了1和它本身这两个约数外，还有其
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他约数，如：27还有3和9，35还有5和7，143还有11和13，都不符合质数的定义，因此，这些数都不是质数。
偶数也不一定是合数，因为“能被2整除的数叫做偶数”，而合数的定义是：“除了1和本身，还有别的约数的，这样的数叫做合数。”这里“2”又是一个重要区分点，2是偶数，但不是合数，准确的说法是：“除2以外的偶数都是合数。”
与质数和奇数不能反叙述一样，如果说成“除2以外的合数都是偶数”也是错误的。例如：45、87、187……这些数都是合数，但都不是偶数。
159.最小的偶数是几？
偶数概念的出现是在“数的整除性”这部分知识里，在小学数学教材中“数的整除性”一般是限制在自然数范围之内的，由于0不是自然数，因此没有涉及到最小偶数是几的问题，但在“教”与“学”中，却常常遇到这个问题，并且说法不一。
按照“能被2整除的数叫做偶数”的定义，以及一个数个位上是0、2、4、6、8的数就一定能被2整除的规律，0能够被2整除，0也应该看作是偶数。
至于在“教”与“学”中所提出的“最小的偶数是几”的问题，必须限定一个范围，一般来讲，要区分三种情况：
（1）如果限定在自然数的范围内，由于已将0排除，最小的偶数是2；
（2）如果扩大自然数的范围，把0包括在内，最小的偶数是0。 （3）如果限定在整数范围内，这个“整数”概念包括负整数，由于没有最小的负整数，因此，在整数的范围内，也没有最小的偶数。
160.“12是倍数，4是约数”这种说法对不对？
研究“倍数”与“约数”的概念，都是在整除的前提下进行的，因此，它们当中的每一个概念都不是单独存在的，而是互相依存的。可以说：没有倍数就没有约数，没有约数也就没有倍数。按照“如果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数”的定义，通过下面的例子，就可以回答上面提出的问题了。 例如：15÷3=5
15能被3整除，15是3的倍数，3是15的约数。
24÷8=3
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24能被8整除，24是8的倍数，8是24的约数。
由此可见，12÷4=3，12在能被4整除的情况下，只能说成12是4的倍数，4是12的约数。表述倍数与约数时，必须完整地说明：谁是谁的倍数，谁是谁的约数。如果笼统地说：“谁是倍数，谁是约数”则是孤立的肯定，而失去倍数与约数本身的意义。所以“12是倍数，4是约数”这种说法是不对的。
161.为什么判断一个数能不能被2或5整除，只要看这个数的个位数？ 判断一个数能不能被2或5整除，在“数的整除性”这个范畴内是一个重要基础知识。教材中是通过自然数乘以2和乘以5的形式，对乘积个位上数的特征的观察，从而得出如下的结论：“个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除。”和“个位上是0或者5的数，都能被5整除。” 有关这个结论的算理，可以通过下面数例加以说明。 例如：（1）364=300＋60＋4 （2）876=800＋70＋6 （3）4528=4000＋500＋20＋8
任何一个数都可以写成上面的形式，从中可看到：一个数千位、百位、十位上的数字，都表示整千、整百、整十的数，而整千、整百、整十的数都能被2整除（或者说都是2的倍数），这是整除的性质所决定的，那么这个数能不能被2整除的关键，就看个位上的数了。因此，只要个位上是0、2、4、6、8的数，这个数就一定能被2整除。个位上是0的数，必然是10的倍数，10能够被2整除，10的倍数也一定能被2整除。所以个位上是0的数，也一定能被2整除了。 又如：（1）485=400＋80＋5 （2）3765=3000＋700＋60＋5 （3）5970=5000＋900十70＋0
同理，千位、百位、十位上的数字，所表示的是整千、整百、整十的数，这些数均能被5整除（或者说都是5的倍数），关键是个位上的数，如果个位上的数能被5整除，这个数必然能被5整除。个位上是5的数，当然能被5整除，个位上是0的数，必然是10的倍数，10能被5整除，10的倍数也必然能被5整除。因此，看一个数能不能被5整除，只要看这个数个位上是0或者5，就能正确、迅速地做出判断。
个位上是0的数，是10的倍数，10能被2整除，也能被5整除。因此，个位上是0的数，既能被2整除，又能被5整除。
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162.为什么看一个数能不能被3或9整除，就要看这个数各数位上数字的和能
不能被3或9整除？ 一个数只要各数位数字的和是3或9的倍数，就一定能被3或9整除。这个规律可通过下面例子得到证明。
例如：判断3576，2549能不能被3整除。 3576：∵3＋5+7＋6=21（21是3的倍数） ∴3576能被3整除。
2549：∵2＋5＋4＋9=20（20不是3的倍数） ∴2549不能被3整除。 检验：2549÷3=849……2
又如：判4212、5282能不能被9整除。 4212：∵4+2+1+2=9（9是9的倍数） ∴4212能被9整除。
5282：∵5+2+8+2=17（17不是9的倍数） ∴5282不能被9整除。 这个规律主要依据是：
（1）凡各位数字是9的数，一定能被3和9整除。如：
9÷3=3 9÷9=1 99÷3=33 99÷9=11 999÷3=333 999÷9=111 9999÷3=3333 9999÷9=1111
…… ……
（2）凡是10的倍数都可以用下列形式表示：10=9+1
100=99+1
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1000=999+1 10000=9999+1
……
80=8×10=8×（9+1） 700=7×100=7×（99+1） 5000=5×1000=5×（999+1） 40000=4×10000=4×（9999+1）
……根据以上两点，可以通过下面的等式来说明354能不能被3整除的道理：
第一个括号里是9的倍数加上9的倍数，它是能被3或9整除的。因此，这个数能不能被3整除，只要看第二个括号的结果就可以了。而第二个括号里恰恰是354各位数字的和。所以，判断一个数能不能被3或9整除，只要看各位数字的和就可以了。
判断结果：3+5+4=12，12能被3整除，因此，354能被3整除。
由于9本身能被3整除，所以能被9整除的数，一定能被3整除。而能被3整除的数，却不一定能被9整除。仍以354为例，3+5+4=12，12能被3整除，却不能被9整除，因此，354能被3整除，不能被9整除。
用上述方法不但能判断一个数能不能被3或9整除，而且还能判断不能整除时，余数是多少。
如：判断7485能不能被9整除。 7+4+8+5=24→2+4=6
小学数学问答手册(四、数的整除性)
