精品 试卷1
四、数的整除性
153.为什么要学习“数的整除性”这部分知识？
“数的整除性”在小学数学教学中是一个重要的基础知识。说它重要是因为这部分知识所涉及的基本数学概念不仅多，而且相对集中，如果不能明确、清晰地掌握这些基本数学概念的区别和联系，就会引起混淆，而混淆也必然给以后的数学知识的学习，带来严重的后遗症。
例如：约数与倍数、质数与合数、奇数与偶数、公约数与公倍数……这些概念在教学中几乎同时出现，但又有相反的内涵，因此，这些概念必须牢固而又明确地建立起来。
还必须看到：“数的整除性”是学习分数的前提和准备。在分数的四则运算中，约分和通分是一定要掌握的基础知识，而构成这些基础知识，是离不开“数的整除性”这部分内容的。
例如：不掌握求最大公约数的方法，就不可能进行正确、迅速的约分；不掌握求最小公倍数的方法，也无法进行正确、迅速的通分。从这个意义上讲，学习“数的整除性”是进一步学习数学的需要。
除此之外，学生在过去的学习中，已经知道整数与整数的和、差、积都是整数，但整数除整数时，商不一定是整数，有时会是小数，到底在什么情况下，整数与整数相除，商仍然是整数呢？这就需要根据“数的整除性”的知识来进行正确的判断了。
在未学习“数的整除性”前，学生是很难准确、迅速地判断出下列各式的商是不是整数。
87459÷3 65246÷7 32846÷11 96375÷25 74321÷9 79432÷8
由于数字较大，一时难于做出正确的判断，一旦掌握了“数的整除性”这部分知识，这些问题就不难解决了。
154.整除和除尽有什么不同？
整除和除尽是两个既有区别又有联系的概念，也是两个易于混淆的概念。可以通过下面两道题的计算过程，来加以说明。
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这两道题相同的地方是都没有余数，都可以说成是“除尽”。但这两道题又有不同的地方，（1）题中的被除数、除数和商都是整数，这种情况称作“整除”。按原题可以说成是896能被16整除。（2）题中的被除数、除数虽然是整数，但商不是整数，而是小数。这类情况就只能称作“除尽”，而不能称作“整除”。按原题可以说成36能被8除尽，而不能说成36能被8整除。
又如：3.5÷0.5=7 824÷41.2=20
这两个式子虽然都能除尽，商又是整数，但被除数和除数中， 至少有一个数不是整数，因此，这两个式子只能属于“除尽”情况，而不能称作“整除”。
由于在小学数学中，“数的整除性”所涉及的数一般都指的是自然数，不包括0，因此，其定义是：“数a除以数b，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说，a能被b整除。”
“整除”与“除尽”是两个不同的概念。“除尽”是指在除法中只要除到某一位时没有余数，不管被除数、除数和商是整数还是小数，都可以说是“除尽”。“整除”是指在除法中只有被除数、除数和商都是整数的情况下，才可以说是“整除”。
“整除”是整数范围内的除法，而“除尽”则不限于整数范围，只要求余数为零。“整除”与“除尽”的区别和联系在于“整除”也可以称作“除尽”，但是“除尽”不一定是“整除”。“除尽”中包括了“整除”，“整除”只是“除尽”的一种特殊情况。“除尽”与“整除”的关系可用右边集合图来表示。
155.“数的整除性”有哪些性质？
“数的整除性”的性质很多，涉及到小学数学内容的有以下几个：
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（1）如果两个整数a、b都能被c整除，那么a与b的和也能被c整除。
例如：42÷7=6 56÷7=8 （42＋56）÷7=14
42能被7整除，56也能被7整除，那么42与56的和（98）也能被7整除。
反之，如果整数a、b中，有一个数能被c整除，而其中一个数不能被c整除，那么a与b的和就一定不能被c整除。 例如：36÷9=4 83÷9=9……2 （36+83）÷9=13……2
36能被9整除，83不能被9整除，那么36与83的和（119）不能被9整除。
（2）如果两个整数a、b都能被c整除，那么a与b的差也能被C整除。
例如：88÷11=8， 66÷11=6 （88-66）÷11=2
88能被11整除，66也能被11整除，那么88与66的差（22）也能被11整除。
反之，如果整数a、b中，有一个数能被c整除，另一个数不能被c整除，那么a与b的差就一定不能被c整除。 例如：91÷13=7 30÷13=2……4 （91-30）÷13=4……9
91能被13整除，30不能被13整除，那么91与30的差（61）不能被13整除。
（3）如果两个整数a、b都不能被c整除。那么a与b的和（或差）能或不能被c整除。这是一个不肯定的结论。 例如：65÷7=9……2 33÷7=4……5 （65＋33）÷7＝14
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（65-33）÷7=4……4
65不能被7整除，33也不能被7整除，由于两个余数的和（2＋5=7），正好等于除数，因此，65与33的和（98）能被7整除；而65与33的差则不能被7整除。
又如：85÷11=7……8 38÷11=3……5 （85＋38）÷11＝11……2 （85-38）÷11=4……3
85不能被11整除，38也不能被11整除，此例中85与38的和（123）或差（47）都不能被11整除。
（4）如果整数a能被自然数c整除，那么a的倍数（整数倍）也能被c整除。
例如：39÷13=3 （39×4）÷13=12
39能被13整除，39的4倍（156）也能被13整除。
（5）如果a、b、c这三个数中，a能被b整除，b又能被c整除，那么a一定能被c整除（这是整除的传递性）。 例如：有84、21、7三个数 84÷24=4 21÷7=3 84÷7＝12
84能被21整除，21又能被7整除，那么84就一定能被7整除。 反之，如果a、b、c这三个数中，a与b或b与c之间只要出现一个不能整除的情况，a就一定不能被c整除。 例如：有121、11、5三个数 121÷11=11 11÷5=2……1 121÷5=24……1
121能被11整除，但11不能被5整除，那么121就一定不能被5整除。
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156.“倍”与“倍数”有什么区别？
“倍”与“倍数”虽然只有一字之差，却是两个不同的数学概念，只有真正明确它们各自的内涵和使用范围，才不会在理解和应用上造成混淆。
“倍”指的是数量之间的关系，它建立在乘法概念的基础上，在实际教学中，是从“个”和“份”逐步抽象出来的数学概念。
例如：白布8米，花布的长度有4个8米；或者说把白布8米看作1份，花布的长度是4份。这里所说的“个”与“份”，换成数学语言就是花布的长度是8米的4“倍”，花布的米数是8×4=32（米）。由此可见，“倍”的出现是从生活中的“个”与“份”逐步抽象出来的，是建立在乘法概念的基础上的。
“倍数”指的是数与数之间的联系，它建立在“数的整除性”这个大概念的基础上，是在明确“整除”的前提下，与“约数”同时建立的。 例如：28是7的倍数，因为28能被7整除。28÷7=4，28是7的4倍，如果用乘法表示这三个数的数量关系，则7×4=28，7的4倍是28。由此可见，前者的“倍数”是严格限制在“整除”的范围内，而后者的“倍”只体现在乘法的概念当中，这是两者的明确区别。
在小学数学教材中，“倍数”的运用还有另一种情况，即在比例教学时，当阐述正、反比例关系所提到的“扩大或缩小相同的倍数”，这里所提到的“倍数”，是一般除法中的概念，而不是“整除”范围内的概念。比例中所出现的倍数，所表示的是两个最相比而得到的数，这个数不一定是整数，也可能是小数。在研究“数的整除性”中的倍数，是不允许出现小数的。
157.约数可以等于因数吗？
在“数的整除性”中，约数和因数是两个重要的概念。在小学数学“教”与“学”中，接触因数是在整数乘法时，被乘数与乘数对于积来说，都是因数。约数是在“数的整除性”中出现的，它与倍数是在“整除”概念的前提下，同时建立起来的概念。按照教材中对约数所下的定义：“如果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。”假设把商定为c，其算式为：
a÷b=c 反之 b×c=a
仅从算式来观察，似乎约数与因数已经等同了，实际上并非如此。约数与因数是一个问题在不同范畴内的两种不同提法，两者之间既有联系，也有区别，从上面乘、除法关系的算式中可以看到它们之间的联系，但它们之间的区别则是主要的。
小学数学问答手册(四、数的整除性)
