一．方法综述
数列的求和问题是数列高考中的热点问题， 数列的求和问题会渗透多种数学思想，会跟其他知识进行结合进行考查.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数列求和中的新定义问题、子数列中的求和问题、奇偶性在数列求和中的应用、周期性在数列求和中的应用、数列求和的综合问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析. 二．解题策略
类型一 数列求和中的新定义问题
【例1】【湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考（四)】对于数列为
的“优值”，现已知某数列的“优值”
，记数列
，定义
（ ）
的前项和为，则
A．2022 B．1011 C．2020 D．1010 【答案】B 【解析】 由得
，
， ①
， ②
①-②得所以
.故选B.
，即
，
，
【指点迷津】1.“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 2.解决此类问题的一些技巧：
（1）抓住“新信息”的特点，找到突破口；
（2）尽管此类题目与传统的数列“求通项，求和”的风格不同，但其根基也是我们所学的一些基础知识与方
法.所以在考虑问题时也要向一些基本知识点靠拢，弄清本问所考察的与哪个知识点有关，以便找到一些线索.
（3）在分类讨论时要遵循“先易后难”的原则，以相对简单的情况入手，可能在解决的过程中会发现复杂情况与该情况的联系，或者发现一些通用的做法与思路，使得复杂情况也有章可循.
1n【举一反三】已知数列?an?的前n项和为Sn，定义?Si为数列?an?前n项的叠加和，若2016项数列
ni?1a1,a2,a3,a2016的叠加和为2017，则2017项数列1,a1,a2,a2016的叠加和为( )
A. 2017 B. 2018 C. 20172 D. 20182 【答案】A
故选A．
类型二 子数列中的求和问题
【例2】已知有穷数列?an?中， n?1,2,3,,729，且an??2n?1???1?n?1，从数列?an?中依次取出
a2,a5,a14,构成新数列?bn?，容易发现数列?bn?是以-3为首项，-3为公比的等比数列，记数列?an?的所
有项的和为S，数列?bn?的所有项的和为T，则（ ）
A. S?T B. S?T C. S?T D. S与T的大小关系不确定 【答案】A
【解析】因为s?1?3?5?7???2?729?1??1?2?728?729， 2bn???3???3?n?1???3??729?2?1，所以n?6，当n?6时， b6?729是an中第365项，符合题意，
6n??3??1???3?所以T?1???3???546,所以S?T，选A. 学科*网
【指点迷津】一个数列中某些项的求和问题，关键在于弄清楚新的数列的形式，了解其求和方法.
【举一反三】已知n?N*，集合Mn??,?135,,?248,2n?1??，集合Mn的所有非空子集的最小元素之和为n2?Tn，则使得Tn?80的最小正整数n的值为（ ）
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】B
753n2?1n2?12n?12n?3......??2????80 的最小正整数n为13 ∴Tn=S1+S2+S3+…+Sn=+则2244222故选B.
类型三 奇偶性在数列求和中的应用 【例3】【福建省2019届高三模拟】已知数列
，设数列【答案】【解析】 当是奇数时，差数列，因此
，
，所以，
，，
，…，
，…是首项为1，公差为6的等，所以，，，…，
，…
的前项和为，则
满足
，
，且
，
__________（用表示）.
；当是偶数时，
是首项为4，公比为3的等比数列，因此.综上，，所以
，即
.
【指点迷津】数列求和中遇到(?1)，sinn?，cosn?都会用到奇偶性，进行分类讨论.再采用分组转化法求和或者并项求和的方法，即通过两个一组进行重新组合，将原数列转化为一个等差数列. 分组转化法求和的常见类型还有分段型（如an?{nn,n为奇数2n,n为偶数 ）及符号型（如an???1?n2 ）
n?1n【举一反三】设数列?an?的前n项和为Sn,已知a2?2,an?2???1?【答案】240
an?1,则S40?______
类型四 周期性在数列求和中的应用 【例4】数列?an?满足an?1??2sin???n??1?an?2n，则数列?an?的前100项和为__________． 2?【答案】5100
【指点迷津】本题主要考查数列的周期性，数列是定义域为正整数集或它的子集的函数，因此数列具有函数的部分性质，本题观察到条件中有sinn?? ，于是考虑到三角函数的周期性，构造f?n??sin?n，周22期为4，于是研究数列中依次4项和的之间的关系，发现规律，从而转化为熟悉的等差数列求和问题.解决此类问题要求具有观察、猜想、归纳能力，将抽象数列转化为等差或等比数列问题. 【举一反三】已知数列2008，2009，1，，若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之
和，则这个数列的前2019项之和______．
【答案】4018 【解析】
数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和， 可得2008，2009，1，
，
，
，2008，2009，1，，
即有数列的最小正周期为6， 可得一个周期的和为0， 由
，可得
．
故答案为：4018．
类型五 数列求和的综合问题
【例5】【上海市青浦区2019届高三二模】等差数列
,满足
，则（ A．的最大值为50 B．的最小值为50 C．的最大值为51 D．的最小值为51
【答案】A 【解析】
时，满足条件，所以
满足条件，即最小值为2，舍去B,D. 要使得取最大值，则项数为偶数， 设，等差数列的公差为，首项为，不妨设，
则，且
，由
可得
，
所以
,
因为
，所以
，所以
，而
，
）
专题3.2 复杂数列的求和问题-玩转压轴题,突破140分之高三数学选择题填空题高端精品(2019版)
