初三竞赛培训试题
7．不定方程 A卷
?x?x01．若?是二元一次不定方程ax + by = c（其中（a、b）=1）的一组整数解，则ax +
y?y0?by = c的所有整数解为____________。
2．方程 6x + 22y = 90的非负整数解为___________。
3．方程 9x + 24y – 5z = 1000的整数解为___________。
?x?y?z?100(1)?4．方程组?x的非负整数解为______________。
?3y?5z?100(2)??3
5．方程(x – a )(x – 8 ) – 1 = 0有两个整数根，则a的值是___________。
6．方程5x?xy?6?0的整数解为___________。
7．方程xy – 10 (x + y ) = 1的整数解为_____________。
8．满足x > y > 0 且x?7y?y?7x的整数x = __________，整数y = _____________。
9．不定方程 x?y?88的整数解是____________。 10．
（1）方程x?1?z的质数解是__________； （2）方程
y22332111???a（其中a是整数x、y、z互不相等）的正整数解是___________； xyz（3）方程x?aby?2009的整数解是____________。
cd（4）方程2?2?2?2?20.625的整数解是____________。
B卷
1．不定方程a?b?c?ab的所有整数解是____________。 2．对于正整数a和b，方程x222a?b22222?y?xayb的所有正整数解是_____________。
3．方程6(6a?3b?c)?5n的所有整数解是____________。
24．方程组?2?6x?y?z?20?x?y?z?19792222的所有正整数解是____________。
5．方程3x?8xy?7y?4x?2y?109的整数解是____________。
6．方程3x?7xy?2x?5y?35?0的不同正整数解(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn),中
x1?x2?x3???xn=_____________。
7．写出方程x1?x2???x1998?x1x2?x1998的一组正整数解___________。
8．被11除后的商等于被除数中各数字的平方和，试写出所有这样的三位数___________。 9．若1+2+3+…+k之和为一完全平方数N，并且N小于100，则K的可能值是___________。 10．两个凸多边形P1与P2边数不同，P1的每个内角为x度，P2的每个内角为kx度，其中k是大于1的整数，那么可能的数对（x、k）有______个。 答案 A卷
2?x?x0?bt1．? t = 0, ±1, ±2，……
y?y?at0?2．??x?15?x?4 ,??y?0?y?33．令 9x + 24y = 3t，即3x+8y=t，于是3t – 5z =1000。于是原方程化为
?3x?8y?t(1) ?3t?5z?1000(2)??x?6000?8u?15v?分别求出（1）（2）的所有整数解，消去t得?y??000?3u?5v(u,v为整数)
?z?1000?3v?4．由（2）得 x + 9y + 15z = 300 （3）
由（3）-（1）得 4y + 7z = 100。从而易知4y + 7z = 100的一切整数解为?此代入（1）得 x = 100 – (z + y) = 84 – 3t
?y?4?7t将
?z?12?4t?x?84?3t?故原方程组的整数解为?y?4?7t(t为整数)(4) 解不等式组
?z?12?4t??84?3t?0??4?7t?0得?12?4t?0??4?t?3，故t=0，1，2，3。将t的取值代入（4）得 7?x?84?x?81?x?78?x?75?????y?4,?y?11,?y?18,?y?25, ?z?12?z?8?z?4?z?0????5．将原方程化为(x – a )(x – 8 )=1。因为原方程有整数根，所以x必为整数，故
?x1?9?x2?7?x?a?1?x?a??1 或 解之得 或 ∴ a = 8 ????a?8a?8?1?2?x?8?1?x?8??16．∵x = 0不是方程的解，所以原方程可化为y?5x?∵x、y均为整数，所以
6 x6应为整数，所以x只能取±1，±2，±3，±6。从而可求出y可x能是±1，±7，±13，±29。故原方程的解为
?x1??1?x2??2?x3??3?x4??6,?,?,? ?y??1y??7y??13y??29?1?2?4?37．将原方程化为(y – 10 )(x – 10 ) = 101=101×1=（-101）×（-1），所以原方程可化为四个方程组??x?10?101?x?10?1?x?10??101?x?10??1,?,?,?,解得
?y?10?1?y?10?101?y?10??1?y?10??101?x1?111?x2?11?x3??91?x4?9;?;?;?; ?y?11y?111y?9y??91?1?2?4?38．将原方程化为(x?y)(x?xy?y)?7(x?y)
∵x > y，∴x – y≠0, ∴x?xy?y?7,即(x?y)?7?3xy,?(x?y)?0, ∴7 – 3xy >0，则xy?2222227 ∴ xy=1或2。再由x > y > 0知x = 2, y =1。 39．显然正整数x、y满足方程时，必有x > y > 0。
∴x + y > x – y > 0。又x + y与x – y 有相同的奇偶性，由原方程(x – y )(x + y)=88，右边为偶数，从而x + y与x – y均为偶数，又x + y，x – y是88的因数，因此有
?x?y?2?x?y?4?x?23?x?13 或 由此可解得或? ????x?y?4?x?y?22?y?21?y?910．
（1）易知x=2,y=2,z=5是原方程的解，下面说明原方程仅有这一个解。若x=2时，y为奇数，设y = 2m +1（m为自然数），所以22m?1?1?z，而3|(2y2m?1)，所以z为合数，这
与z是质数矛盾。若x为奇数，则2|(x?1),故2|y，所以z=2，这不可能，所以原方程仅有x=2, y = 2, z = 5这一组解；
（2）因为x、y、z互不相等，故不妨设x < y < z，则x≥1，y≥1, z≥3，所以
11111111113??????2，于是a = 1。又因为???? xyz122xxyzx即
11113?1?， 所以1 < x < 3。故x = 2。再由方程??可推得
yz2xx1112112??? 即??，故2 < y < 4。 yyzyy2y所以 y = 3。于是
111??，故z = 6； 3z22因此，方程的正整数解为x = 2, y = 3, z = 6。
（3）因为2009=7?41，而41是质数，故要求x、y，即求方程
a41?b41?741的解（其中a,b是正整数），即a+b=7。所以可取a=2，5，1，6，3，
4；与a相对应的b=5，2，6，1，4，3。于是可求得原方程的解为：
?x1?164?x2?1025?x3?41,?,?,?y?1025y?164y?1476?1?2?3
?x4?1476?x5?369?x6?656,?,?,??y4?41?y5?656?y6?369（4）已知可得2?20,625?25,显然a < 5，若a≤3，则b≤2，c≤1, d≤0，从而
a2a?2b?2c?2d?23?22?21?20?20.625故可求得b=2, c = -1, d = -3，于是可
求得a=4。 B卷
1．首先对c进行奇偶性分析：
22（1）c = 0时，方程化为a?b?ab,即(a?1)(b?1)?1由于a?1与b?1都是
22222222??a?1?1??a?1??11的约数，所以?以上方程组只能解出a = b = 0，于是，方程有一,?22??b?1?1??b?1??1组解a = b = c = 0。
（2）c为奇数时，再对a,b进行奇偶性分析。
22222（i）若a和b同为奇数，则a,b,c都是4k+1型，于是a?b?c为4k+3型，而ab222为4k+1型，等式不能成立，方程无解；
（ii）若a,b同为偶数，此时方程左边=a?b?c为奇数，左边=ab为偶数，方程无解；
（iii）若a和b为一奇一偶，此时方程左边为4k+2型，右边为4k时，方程无解。 （3）C为偶数时，仍对a和b进行奇偶性分析：
（i）若a和b同为奇数，则方程左边为4k+2型，右边为奇数，方程无解； （ii）若a和b为一奇一偶，则方程左边为奇数，右边为偶数，方程无解； （iii）若a,b同为偶数，这时，方程两边均为4k型，需要再细致分析：
设a?2?,b?2?,c?2r，其中m,n,t为非负整数，?,?,r为奇数。则方程化为
mnt2222222m?2?22n?2?22tr2?22m?2n?2?2
当t最小时，方程两边约去2，得22t2m?2t?2?22n?2t?2?r2??2?2?22m?2n?2t显然，方
程左边为奇数，右边为偶数，方程无解； 当m最小时，方程两边约去22m得??222n?2m?2?22t?2mr2?22n?2?2。
同样，方程左边为奇数，右边为偶数，方程无解； 当n最小时，同样可得方程无解。
综上讨论，方程a?b?c?ab只有一组整数解a=0,b=0,c=0。
aa2．已知方程可化为y?x(y?x)则x是y的约数，设y=xu，则xu?x(y?x)，
abbaabb22222u?xabub?xb?xb(xab?bub?1)则xb是u的约数，设u?xbv，则有
ab?b?b?2。必有v=1,所以x v?xab?b?xbub?1,v?xab?b?bvb?1 于是v应是1的约数，
222即x=2, ab – b + b=1，从而b=1, a=1,y=4。于是方程仅当a=b=1时，有一组正整数解x=2，y=4。
3．显然，a=b=c=n=0是方程6(6a?3b?c)?5n （1）
的一组解。
为求（1）的整数解，只须求出它的正整数解即可，而对于正整数解，只要求出 a,b,c,n互
22222
初三竞赛培训试题7不定方程
