导数练习题（B）
1．（本题满分12分）
已知函数f(x)?ax?bx?(c?3a?2b)x?d的图象如图所示．
（I）求c,d的值；
（II）若函数f(x)在x?2处的切线方程为3x?y?11?0，求函数f(x)的解析式；
32（III）在（II）的条件下，函数y?f(x)与y?13f?(x)?5x?m的图象有三个不同的交点，求m的取值范围． 2．（本小题满分12分）
已知函数f(x)?alnx?ax?3(a?R)． （I）求函数f(x)的单调区间；
（II）函数
g(x)?13x?x[f'(x)?32f(x)m2的图象的在
x?4处切线的斜率为
32,若函数
]在区间（1，3）上不是单调函数，求m的取值范围．
3．（本小题满分14分）
已知函数f(x)?x?ax?bx?c的图象经过坐标原点，且在x?1处取得极大值． （I）求实数a的取值范围；
32（II）若方程f(x)??(2a?3)92恰好有两个不同的根，求f(x)的解析式；
f(2sin?)|?81（III）对于（II）中的函数f(x)，对任意?、??R，求证：|f(2sin?)?．
4．（本小题满分12分）
已知常数a?0，e为自然对数的底数，函数f(x)?e?x，g(x)?x（I）写出f(x)的单调递增区间，并证明e?a； （II）讨论函数y?g(x)在区间(1,e)上零点的个数． 5．（本小题满分14分）
已知函数f(x)?ln(x?1)?k(x?1)?1．
（I）当k?1时，求函数f(x)的最大值；
（II）若函数f(x)没有零点，求实数k的取值范围；
x2?alnx．
aa 6．（本小题满分12分）
已知x?2是函数f(x)?(x2?ax?2a?3)ex的一个极值点（e?2.718（I）求实数a的值；
（II）求函数f(x)在x?[3,3]的最大值和最小值． 7．（本小题满分14分）
已知函数f(x)?x2?4x?(2?a)lnx,(a?R,a?0) （I）当a=18时，求函数f(x)的单调区间； （II）求函数f(x)在区间[e,e2]上的最小值． 8．（本小题满分12分）
已知函数f(x)?x(x?6)?alnx在x?(2,??)上不具有单调性． ．．．
（I）求实数a的取值范围； （II）若f?(x)是f(x)的导函数，设g(x)?相等正数x、x，不等式|g(x)?g(x12???）．
2f?(x)?6?2x2，试证明：对任意两个不
1)|?23827|x1?x2|恒成立．
9．（本小题满分12分）
已知函数f(x)?12x?ax?(a?1)lnx,a?1.
2 （I）讨论函数f(x)的单调性；
（II）证明：若a?5,则对任意x1,x2?(0,??),x1?x2,有f(x1)?f(x2)x1?x2??1.
10．（本小题满分14分）
已知函数f(x)?12x?alnx,2g(x)?(a?1)x,a??1．
（I）若函数f(x),g(x)在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a的取值范围；
（II）若a?(1,e](e?2.71828?)，设F(x)?f(x)?g(x)，求证：当x,x?[1,a]时，不等式|F(x1)?F(x2)|?1成立．
12 11．（本小题满分12分）
设曲线C：f(x)?lnx?ex（e?2.71828???），f?(x)表示f(x)导函数． （I）求函数f(x)的极值；
（II）对于曲线C上的不同两点A(x,y)，B(x,y)，x?x，求证：存在唯一的x?(x,x)，使直线AB的斜率等于f?(x)． 12．（本小题满分14分）
定义F(x,y)?(1?x)y,x,y?(0,??)，
（I）令函数f(x)?F(3,log(2x?x?4))，写出函数f(x)的定义域；
（II）令函数g(x)?F(1,log(x?ax?bx?1))的图象为曲线C，若存在实数b使得曲线C在x0(?4?x0??1)处有斜率为－8的切线，求实数a的取值范围；
（III）当x,y?N*且x?y时，求证F(x,y)?F(y,x)．
导数练习题（B）答案
1．（本题满分12分）
已知函数f(x)?ax?bx?(c?3a?2b)x?d的图象如图所示．
（I）求c,d的值；
（II）若函数f(x)在x?2处的切线方程为3x?y?11?0，求函数f(x)的解析式；
11221201202232232（III）在（II）的条件下，函数y?f(x)与y?13f?(x)?5x?m的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．
解：函数f(x)的导函数为 f'(x)?3ax2?2bx?c?3a?2b …………（2分） （I）由图可知 函数f(x)的图象过点（0，3），且f'(1)?0 得
?d?3??3a?2b?c?3a?2b?0f(2)??3'?d?3 ???c?0 …………（4分）
（II）依题意
且f(2)?5
?12a?4b?3a?2b??3??8a?4b?6a?4b?3?5
解得 a?1,b??6 所以f(x)?x3?6x2?9x?3 …………（8分） （III）f?(x)?3x2?12x?9．可转化为：x3?6x2?9x?3??x2?4x?3??5x?m有三个
不等实根，即：g?x??x3?7x2?8x?m与x轴有三个交点；
2g??x??3x?14x?8??3x?2??x?4?，
x g??x? g?x? ?2?68g????m,327??2?????,?3?? 23 ?2?4? ?，?3?4 ?4，??? + 增 0 极大值 - 减 0 极小值 + 增 g?4???16?m68276827． …………（10分）
2?当且仅当g?????3??m?0且g?4???16?m?0时，有三个交点，
故而，?16?m?为所求． …………（12分）
2．（本小题满分12分）
已知函数f(x)?alnx?ax?3(a?R)． （I）求函数f(x)的单调区间；
（II）函数
g(x)?13x?x[f'(x)?32f(x)m2的图象的在
x?4处切线的斜率为
32,若函数
]在区间（1，3）上不是单调函数，求m的取值范围．
解：（I）f'(x)?a(1?x)x(x?0) （2分）
当a?0时,f(x)的单调增区间为?0,1?,减区间为?1,???
当a?0时,f(x)的单调增区间为?1,???,减区间为?0,1?; 当a=1时，f(x)不是单调函数 （5分） （II）f'(4)???g(x)?13x?(33a4m2?32得a??2,f(x)??2lnx?2x?322
分）
?2)x?2x,?g'(x)?x?(m?4)x?2（6
?g(x)在区间(1,3)上不是单调函数?g'(1)?0,?? ?g'(3)?0.,且g'(0)??2
193,?3)
（8
?m??3,分）??19（10?,?m?3?2分）m?(?（12分）
3．（本小题满分14分）
已知函数f(x)?x?ax?bx?c的图象经过坐标原点，且在x?1处取得极大值． （I）求实数a的取值范围；
3（II）若方程f(x)??(2a?3)92恰好有两个不同的根，求f(x)的解析式；
f(2sin?)|?81（III）对于（II）中的函数f(x)，对任意?、??R，求证：|f(2sin?)?解：（I）f(0)?0?c?0,f?(x)?3x?2ax?b,f?(1)?0?b??2a?3 ?f?(x)?3x?2ax?(2a?3)?(x?1)(3x?2a?3),
22．
由f?(x)?0?3x?1或x??2a?33，因为当x?1时取得极大值，
:(??,?3) 所以?2a?3?1?…（4分） （II）由下表：
x f?(x) a??3，所以a的取值范围是；
………
(??,1) 1 (1,?2a?33) ?2a?33 (?2a?33,??) + 递增 f(x) 0 极大值?a?2 - 递减 a?6270 极小值 a?6(2a?3) 2- 递增 227 依题意得：
(2a?3)??322(2a?3)9，解得：a??9
………
所以函数f(x)的解析式是：f(x)?x?9x?15x
…（10分）
（III）对任意的实数?,?都有?2?2sin??2,?2?2sin??2,
在区间[-2，2]有： f(?2)??8?36?30??74,f(1)?7,f(2)?8?36?30f(x)的最大值是f(1)?7,f(x)的最小值是f(?2)??8?36?30??74 函数f(x)在区间[?2,2]上的最大值与最小值的差等于81， 所以|f(2sin?)?f(2sin?)|?81．
?2
………
…（14分） 4．（本小题满分12分）
已知常数a?0，e为自然对数的底数，函数f(x)?e?x，g(x)?x?alnx． （I）写出f(x)的单调递增区间，并证明e?a； （II）讨论函数y?g(x)在区间(1,e)上零点的个数． 解：（I）f?(x)?e?1?0，得f(x)的单调递增区间是(0,??)， …………（2分） ∵a?0，∴f(a)?f(0)?1，∴e?a?1?a，即e?a． …………（4分）
x2aaxaa（II）g?(x)?2x?x g?(x)ax2(x??(0,2a22a2)(x?x2a2)，由g?(x)?0，得x? (2a2,??) 2a2，列表
) 2a2 g(x) - 单调递减 0 极小值 + 单调递增 2a2)?a2(1?lna2)当x?2a2时，函数y?g(x)取极小值g(，无极大值．
…………（6
导数综合练习题
