万有引力与航天重点知识归纳
考点一、万有引力定律 1. 开普勒行星运动定律 （1） 第一定律（轨道定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 （2） 第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。 （3） 第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期二次方的比值都相等，表达式：
a3?k。其中k值与太阳有关，与行星无关。 2T（4） 推广：开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳运转，也适用于卫星绕地球运转。当卫星绕行星旋转时，a?k，但k值不同，k与行星有关，与卫星无关。
2T3（5） 中学阶段对天体运动的处理办法：
①把椭圆近似为园，太阳在圆心；②认为v与ω不变，行星或卫星做匀速圆周运动； ③R?k，R——轨道半径。
2T32. 万有引力定律 （1） 内容：万有引力F与m1m2成正比，与r2成反比。 （2） 公式：F?Gm1m2，G叫万有引力常量，G?6.67?102r?11N?m2/kg2。
（3） 适用条件：①严格条件为两个质点；②两个质量分布均匀的球体，r指两球心间的距离；③一个均匀球体和球外一个质点，r指质点到球心间的距离。 （4） 两个物体间的万有引力也遵循牛顿第三定律。 3. 万有引力与重力的关系
(1) 万有引力对物体的作用效果可以等效为两个力的作用，一个是重力mg，另一个是物体随地球自转所需的向心力f，如图所示。 ①在赤道上，F=F向+mg，即mg?GMm?m?2R；
R2②在两极F=mg，即GMm?mg；故纬度越大，重力加速度越大。
R2由以上分析可知，重力和重力加速度都随纬度的增加而增大。
(2) 物体受到的重力随地面高度的变化而变化。在地面上，GMm?mg?g?GM；在地球表面高度为h处：
R2R2MmGM，所以R2G?mgh?gh?gh?g，随高度的增加，重力加速度减小。 222(R?h)(R?h)(R?h)考点二、万有引力定律的应用——求天体质量及密度
231．T、r法：GMm?mr(2?)2?M?4?r，再根据V22rTGT?43M3?r3?R,?????3VGT2R3，当r=R时，??3?
GT22．g、R法：GMm?mg?MR2?R2gG，再根据V?4?R3,??M???3g
3V4?GR223．v、r法：GMm?mv?M?rv
2rrG234．v、T法：GMm?mv,GMm?mr(2?)2?M?vT
rT2?Gr2r2
考点三、星体表面及某高度处的重力加速度
1、 星球表面处的重力加速度：在忽略星球自转时，万有引力近似等于重力，则GMm?mg?g?GM。
R2R2注意：R指星球半径。
2、 距星球表面某高度处的重力加速度：GMmGM，或R2?mg?g?g?g。 hhh222(R?h)(R?h)(R?h)注意：卫星绕星球做匀速圆周运动，此时的向心加速度a?nGM，即向心加速度与重力加速度相等。 (R?h)2考点四、天体或卫星的运动参数
我们把卫星（天体）绕同一中心天体所做的运动看成匀速圆周运动，所需要的向心力由万有引力提供，
Mmv4?22G2?man?m?mr??mr(2)rrT2，就可以求出卫星（天体）圆周运动的有关参数：
21、 线速度：GMm?mv?v?GM?1 2、角速度：GMm?mr?2???GM?1
2233rrrrrrr3周期：GMm?mr(2?)2?T?2?r2Tr3?r3GM 4、向心加速度：GMm?man?an?GM
22rr规律：当r变大时，“三小”（v变小,ω变小,an变小）“一大”（T变大）。
考点五、地球同步卫星
对于地球同步卫星，要理解其特点，记住一些重要数据。总结同步卫星的以下“七个一定”。 1、 轨道平面一定：与赤道共面。
2、 周期一定：T=24h，与地球自转周期相同。 3、 角速度一定：与地球自转角速度相同。 4、 绕行方向一定：与地球自转方向一致。 5、 高度一定：由GMm4?gR2T2。 23?m(R?h)2,GM?gR?h??R?3.6?107m?6R222(R?h)T4?26、 线速度大小一定：
GMmv?m,GM?gR2?v?2(R?h)(R?h)2GM?R?h。 gR2?3.1?103m/sR?h7、 向心加速度一定：G。 MmGMgR22?ma,GM?gR?a???0.23m/s2nn222(R?h)(R?h)(R?h)考点六、宇宙速度
1、 对三种宇宙速度的认识：
⑴第一宇宙速度——人造卫星近地环绕速度。大小v1=7.9km/s。 第一宇宙速度的算法： 法一：由GMm?mvr2r2?v?GMr2，r=R+h，而近地卫星h=0，r=R，则GMm?mv?v?GM，代入数据可算
2RRR得：v1=7.9km/s。
法二：忽略地球自转时，万有引力近似等于重力，则mg?mv?v?gr，同理r=R+h，而近地卫星h=0，r=R，
rmg?mv?v?gR，代入数据可算得：v1=7.9km/s。 R22对于其他星球的第一宇宙速度可参照以上两法计算。计算重力加速度时一般与以下运动结合：①自由落体运动；②竖直上抛运动；③平抛运动；④单摆 （2）第二宇宙速度——脱离速度。
大小v2=11.2km/s，是使物体脱离地球吸引，成为绕太阳运行的行星的最小发射速度。 （3）第三宇宙速度——逃逸速度。
大小v3=16.7km/s，是使物体脱离逃逸引力吸引束缚的最小发射速度。 2、 环绕（运行）速度与发射速度的区别：
三种宇宙速度都是发射速度，环绕速度是指卫星绕地球做匀速圆周运动时的线速度大小；轨道越高，环绕速度越小，所需的发射速度越大，所以第一宇宙速度时指最大环绕速度，最小发射速度。 考点七 卫星变轨问题 B 3 人造卫星发射过程要经过多次变轨，如图所示，我们从以下几个方面讨论：
一、变轨原理及过程 2 1、为了节约能量，卫星在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆形轨道1上。 1 2、在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供轨道上做圆周运动的向心
A 力，卫星做离心运动进入轨道2。
3、在B点（远地点）再次点火进入轨道3。 二、一些物理量的定性分析 1、速度：设卫星在园轨道1和3运行时速率为v1、v3，在A点、B点速率为vA、vB。在A点加速，则vA＞v1，在B点加速，则v3＞vB，又因v1＞v3，故有vA＞v1＞v3＞vB。
2、加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道1还是轨道2经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同。
3、周期：设卫星在1、2、3轨道上运行周期分别为T1、T2、T3。轨道半径分别为r1、r2（半长轴）、r3，由
3开普勒第三定律r?k可知，T1＜T2＜T3。
2T三、从能量角度分析变轨问题的方法
把椭圆轨道按平均半径考虑，根据轨道半径越大，卫星的机械能越大，卫星在各轨道之间变轨的话，若从低轨道进入高轨道，则能量增加，需要加速；若从高轨道进入低轨道，则能量减少，需要减速。 四、从向心力的角度分析变轨问题的方法
当万有引力恰好提供卫星所需向心力时，即GMm?mv时，卫星做匀速圆周运动。
2RR2若速度突然增大时，GMm?mv，万有引力小于向心力，做离心运动，则卫星轨道半径变大。
2RR2若速度突然减小时，GMm?mv，万有引力大于向心力，做近心运动，则卫星轨道半径变小。
R2R2考点八 双星问题
被相互引力系在一起，互相绕转的两颗星就叫物理双星。双星是绕公共重心转动的一对恒星。如图所示双星系统具有以下三个特点：
1、各自需要的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即：Gm1m2L2?m1?12r1，
Gm1m22?m2?2r2； 2L2、两颗星的周期及角速度都相同，即：T1=T2，ω1=ω2； 3、两颗星的半径与它们之间距离关系为：r1+r2=L。 补充一些需要用到的知识： 1、卫星的分类：
卫星根据轨道平面分类可分为：①赤道平面轨道（轨道在赤道平面内）；②极地轨道（卫星运行时每圈都经过南北两极）；③任意轨道（与赤道平面的夹角在0o~90o之间）。但轨道平面都经过地心。
卫星根据离地高度分类可分为：①近地卫星（在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动的卫星，可认为h=0，r=R）；②任意高度卫星（离开地面一定高度运行的卫星，轨道半径r=R+h，R指地球半径，h指卫星离地高度，其中同步卫星是一个它的一个特例）。轨道平面都经过地心。 2、人造卫星的机械能：E=EK+EP（机械能为动能和引力势能之和），动能EK?12mv，由运行速度决定；2
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