高中数学选修2-3学案
2.2.3 独立重复试验与二项分布
[学习目标] 1.理解n次独立重复试验的模型.2.理解二项分布.3.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题．
知识点一 独立重复试验 1．独立重复实验的定义
一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复实验． 2．独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率
一般地，如果在1次实验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰
knk
好发生k次的概率P(X＝k)＝Ck，k＝0,1,2，…，n. np(1－p)
－
思考1 有放回地抽样试验是独立重复试验吗？
思考2 在n次独立重复试验中，各次试验的结果相互有影响吗？
知识点二 二项分布
一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，_________________，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～__________，并称p为____________．
思考 你能说明两点分布与二项分布之间的关系吗？
题型一 独立重复试验的判断
例1 判断下列试验是不是独立重复试验： (1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上．
(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中．
1
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(3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球．
反思与感悟 判断的依据要看该实验是不是在相同的条件下可以重复进行，且每次试验相互独立，互不影响．
跟踪训练1 下列事件：①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”；④在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标．
其中是独立重复试验的是( ) A．①B．②C．③D．④ 题型二 独立重复试验的概率
例2 某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率是0.5(相互独立)． (1)求至少3人同时上网的概率； (2)至少几人同时上网的概率小于0.3.
反思与感悟 解答独立重复试验中的概率问题要注意以下几点： (1)先要判断问题中所涉及的试验是否为n次独立重复试验；
(2)要注意分析所研究的事件的含义，并根据题意划分为若干个互斥事件的并．
2
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(3)要善于分析规律，恰当应用排列、组合数简化运算．
2
跟踪训练2 甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为，没有平局．
3(1)若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，甲获胜的概率是多少？ (2)若进行五局三胜制比赛，甲获胜的概率为多少？
题型三 二项分布的应用
例3 100件产品中有3件不合格品，每次取一件，有放回地抽取3次，求取得不合格品的件数X的分布列．
反思与感悟 利用二项分布来解决实际问题的关键在于在实际问题中建立二项分布的模型，也就是看它是否为n次独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．
跟踪训练3 某公司安装了3台报警器，它们彼此独立工作，且发生险情时每台报警器报警的概率均为0.9.求发生险情时，下列事件的概率： (1)3台都未报警； (2)恰有1台报警； (3)恰有2台报警； (4)3台都报警； (5)至少有2台报警；
3
高中数学选修2-3学案 (6)至少有1台报警．
1．若X～B(5,0.1)，则P(X≤2)等于( ) A．0.665 C．0.91854
B．0.00856 D．0.99144
2．一头猪服用某药品后被治愈的概率是90%，则服用这种药的5头猪中恰有3头被治愈的概率为( ) A．0.93
32
C．C35×0.9×0.1
B．1－(1－0.9)3
32
D．C35×0.1×0.9
65
3．在4次独立重复试验中，事件出现的概率相同，若事件A至少出现一次的概率为，则
81事件A在一次试验中出现的概率为( ) 2251A.B.C.D. 3563
4．将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________． 5．在等差数列{an}中，a4＝2，a7＝－4.现从数列{an}的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取三次，假定每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为________．
1.独立重复试验要从三方面考虑：第一，每次试验是在相同条件下进行的；第二，各次试验中的事件是相互独立的；第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生． 2．如果一次试验中某事件发生的概率是p，那么n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次
kn－k的概率为Pn(k)＝Ck.此概率公式恰为[(1－p)＋p]n展开式的第k＋1项，故称该公式np(1－p)
为二项分布公式．
提醒：完成作业 2.2.3
4
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[答案]精析
知识梳理 知识点一
思考1 是．有放回地抽样试验是相同条件下重复做的n次试验，是独立重复试验． 思考2 在n次独立重复试验中，各次试验的结果相互之间无影响．因为每次试验是在相同条件下独立进行的，所以第i次试验的结果不受前i－1次结果的影响(其中i＝1,2，…，n)． 知识点二
knk
P(X＝k)＝Ck B(n，p) 成功概率 np(1－p)
－
思考 两点分布是特殊的二项分布，即X～B(n，p)中，当n＝1时，二项分布便是两点分布，也就是说二项分布是两点分布的一般形式． 题型探究
例1 解 (1)由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是独立重复试验． (2)某人射击且击中的概率是稳定的，因此是独立重复试验．
(3)每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是独立重复试验．
跟踪训练1 D [①③符合互斥事件的概念，是互斥事件；②是相互独立事件；④是独立重复试验．]
例2 解 (1)至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率，即p＝1－C06211×(0.5)5－C2×(0.5)2×(0.5)4＝×(0.5)6－C1×(0.5). 66
32
114×(0.5)2＋C5×(0.5)5×(0.5)1＋C6×(0.5)6＝(2)至少4人同时上网的概率为C4×(0.5)>0.3. 666
32至少5人同时上网的概率为
5×(0.5)5×(0.5)1＋C6×(0.5)6＝C66
7
<0.3. 64
∴至少5人同时上网的概率小于0.3.
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跟踪训练2 解 (1)甲第一、二局胜，或第二、三局胜，或第一、三局胜，则P＝()2＋C12×331220××＝. 3327
(2)甲前三局胜，或甲第四局胜，而前三局仅胜两局，或甲第五局胜，而前四局仅胜两局，则 2221222122642P＝()3＋C2. 3×()××＋C4×()×()×＝333333381
例3 解 X的可能取值为0,1,2,3.由于是有放回地每次取一件，连续取3次，所以相当于做了3次独立重复试验，每次抽取到不合格品的概率p＝0.03，因此X～B(3,0.03)．
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高中数学选修2-3优质学案：2.2.3 独立重复试验与二项分布
