2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一
其中Dz为平面z=z截空间区域W所得的截面，其面积为
112(1-z).所以 2211dz=3ò(z3-2z2+z)dz=
04òòò(x+2y+3z)dxdydz=6òòòzdxdydz=6ò0z×(1-z)WW1220-12013、n阶行列式0【答案】2n?1?2 【考点】行列式的计算 【难易度】★★★
【详解】按第一行展开得
002222
00-12?
=2n+1-2
14、设二维随机变量(X,Y)服从正态分布N(1,0,1,1,0)，则P(XY?Y?0)?【答案】
.
1 2【考点】
【难易度】★★ 【详解】
(X,Y)~N(1,0,1,1,0)，?X~N(1,1),Y~N(0,1),且X,Y独立
?X?1~N(0,1)，P?XY?Y?0??P?(X?1)Y?0?
11111?P?X?1?0,Y?0??P?X?1?0，Y?0??????
22222
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2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证．．．明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）
设函数f(x)?x?aln(1?x)?bx?sinx，g(x)?kx，若f(x)与g(x)在x?0是等价无穷小，求a，b，k值。
【考点】等价无穷小量，极限的计算 【难易度】★★★
【详解】f(x)?x?aln(1?x)?bx?sinx
3???x2x3x33??x?a?x?????x???bx?x????x3??
233!????a?a? ??1?a?x????b?x2?x3???x3?
3?2??f(x)与g(x)?kx3是等价无穷小
???1+a?0?a??1??1?a?????b?0 ??b??
2?2?1?a??kk????3?3?
16、（本题满分10分）
设函数在f(x)定义域I上的导数大于零，若对任意的x0?I，曲线y?f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与直线x?x0及x轴所围成的区域的面积为4，且f(0)?2，求f(x)的表达式. 【考点】微分方程 【难易度】★★★ 【详解】如下图：
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2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一
x?x0处的切线方程为l：y?f?(x0)(x?x0)?f(x0)
l与x轴的交点为：y?0时，x?x0?f(x0)f(x0)?x?x0， ，则AB?f?(x0)f?(x0)因此，S?y?111f(x0)AB?f(x0)?f(x0)?4.即满足微分方程：2?，解得：
y822f?(x0)11??x?c. y8又因y(0)?2，所以c?17、（本题满分10分）
已知函数f(x,y)?x?y?xy，曲线C:x?y?xy?3，求f(x,y)在曲线C上的最大方向导数.
【考点】方向导数，条件极值 【难易度】★★★
【详解】根据方向导数与梯度的关系可知，方向导数沿着梯度方向可取到最大值且为梯度的模.，故
2218，故y?. 24?xgradf(x,y)??1?y,1?x?
故f(x,y)在曲线C上的最大方向导数为
22?1?y?2?(1?x)2，其中x,y满足x2?y2?xy?3，
22即就求函数z?(1?y)?(1?x)在约束条件x?y?xy?3?0下的最值. 构造拉格朗日函数F(x,y,?)?(1?y)?(1?x)??(x?y?xy?3)
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2222 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一
??F??x?2(1?x)?2?x??y?0??F?令??2(1?y)?2?y??x?0可得(1,1),(?1,?1),(2,?2),(?1,2) ??y??F?x2?y2?xy?3?0????其中z(1,1)?4,z(?1,?1)?0,z(2,?1)?9?z(?1,2) 综上根据题意可知f(x,y)在曲线C上的最大方向导数为3. 18、（本题满分10分）
(Ⅰ)设函数u(x),v(x)可导，利用导数定义证明
[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)?u(x)v(x)'
(Ⅱ)设函数u1(x),u2(x)...un(x)可导，f【考点】导数定义 【难易度】★★ 【详解】???
'(x)?u1(x)u2(x)...un(x),写出f(x)的求导公式.
u?x?x??v?x?x??u?x??v(x)??u?x??v?x????limx?0x?u?x?x??u(x)???v?x?x??u?x???v(x?x)?v(x)?
?lim?x?0x ?u'?x??v(x)?u?x??v'(x)???
f'(x)??u1(x)??u2(x) ?u1'(x)??u2(x) ?u1'(x)?u2(x) ?u1'(x)?u2(x) 19、（本题满分10分）
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un(x)??'un(x)??u1(x)??u2(x)un(x)?''un(x)?u1(x)??u2(x)??u3(x)un(x)?u1(x)?u2'(x)un(x)?un(x)??
?u1(x)?u2(x)un'(x) 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一
??z?2?x2?y2,已知曲线L的方程为?起点为A(0,2,0)，终点为B(0,?2,0)，计算曲线积
??z?x,分I??L(y?z)dx?(z2?x2?y)dy?(x2?y2)dz
【考点】曲线积分的计算
【难易度】★★★
?x?cos?,???【详解】曲线L的参数方程为?y?2sin?,?从到?
22?z?cos?,?I??(y?z)dx?(z2?x2?y)dy?(x2?y2)dz
L22???2??(2sin??cos?)sin??2sin?2cos??(cos??2sin?)sin????d?2??1?????2??2sin2??sin2??sin??sin3??d?2?2???
????2??22sin?d??22?2sin2?d??22021?2??22220、（本题满分11分）
设向量组?1,?2,?3是3维向量空间
3的一个基，?1?2?1?2k?3，?2?2?2，
?3??1?(k?1)?3。
（Ⅰ）证明向量组?1,?2,?3是
3的一个基；
（Ⅱ）当k为何值时，存在非零向量?在基?1,?2,?3与基?1,?2,?3下的坐标相同，并求出所有的?。
【考点】线性无关，基下的坐标
【难易度】★★★
?2?【详解】（Ⅰ）(?1,?2,?3)?(?1,?2,?3)0??2k?1? 20??0k?1??0 10
2015年考研数学真题答案(数一-)
