2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案
一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．1、设函数f(x)在连续，其2阶导函数f??(x)的图形如下图所示，则曲线y?f(x)的（-?,+?）拐点个数为（）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答案】(C)
【考点】拐点的定义 【难易度】★★
【详解】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点上，并且在这点的左右两侧二阶导数异号，因此，由f??(x)的图形可知，曲线y?f(x)存在两个拐点，故选(C).
2、设y?则（）
12x?1?e??x??ex是二阶常系数非齐次线性微分方程y??ay??by?cex的一个特解，23??（A）a??3,b??1,c??1. （B）a?3,b?2,c??1. （C）a??3,b?2,c?1. （D）a?3,b?2,c?1. 【答案】(A)
【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法 【难易度】★★ 【详解】
12x1xe,?e为齐次方程的解，所以2、1为特征方程?2+a??b?0的根，从而23a???1?2???3,b?1?2?2,再将特解y?xex代入方程y??3y??2y?cex得：c??1.
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2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一
3、若级数
?an?1?n条件收敛，则x?3与x?3依次为幂级数?nan?x?1?的：
n?1?n（A）收敛点，收敛点 （B）收敛点，发散点 （C）发散点，收敛点 （D）发散点，发散点 【答案】(B)
【考点】级数的敛散性 【难易度】★★★ 【详解】因为
?an条件收敛，故x?2为幂级数?an?x?1?的条件收敛点，进而得
n?1n?1??n?an?x?1?的收敛半径为1，收敛区间为?0,2?，又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间，故
n?1??n?na?x?1?nn?1n的收敛区间仍为?0,2?，因而x?3与x?3依次为幂级数?nan?x?1?的收敛
n?1?n点、发散点.
4、设D是第一象限中曲线2xy?1,4xy?1与直线y?x,y?3x围成的平面区域，函数f(x,y)在D上连续，则
???f(x,y)dxdy?
D（A）
??d??241sin2?12sin2?1sin2?12sin2??f(rcos?,rsin?)rdr （B）??2d??41sin2?12sin2?f(rcos?,rsin?)rdr
??（C）
??d??34f(rcos?,rsin?)dr （D）??3d??41sin2?12sin2?f(rcos?,rsin?)dr
【答案】(D)
【考点】二重积分的极坐标变换 【难易度】★★★ 【详解】由y?x得，??2?4；由y?3x得，???3
由2xy?1得，2rcos?sin??1,r?1
sin2?1
2sin2?2
由4xy?1得，4rcos?sin??1,r?2
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一
?所以
??f(x,y)dxdy???d??3D41sin2?12sin2?f(rcos?,rsin?)rdr
?111??1?????5、设矩阵A?12a，b?d，若集合??{1,2}，则线性方程组Ax?b有无穷多个???14a2???????d2??解的充分必要条件为
（A）a??,d?? （B）a??,d?? （C）a??,d?? （D）a??,d?? 【答案】(D)
【考点】非齐次线性方程组的解法 【难易度】★★
?1111?11?【详解】?A,b????12ad??1????1a?1d?1???14a2d2???01???00?a?1??a?2???
d?1??d?2???Ax?b有无穷多解?R(A)?R(A,b)?3 ?a?1或a?2且d?1或d?2
6、设二次型f(x21,x2,x3)在正交变换x?Py下的标准形为2y1?y222?y3，其中
P?(e1,e2,e3)，若Q?(e1,?e3,e2)，则f(x1,x2,x3)在正交变换x?Qy下的标准形为（A）2y2222221?y2?y3 （B）2y1?y2?y3 （C）2y2222221?y2?y3 （D）2y1?y2?y3 【答案】(A) 【考点】二次型 【难易度】★★
?【详解】由x?Py，故f?xTAx?yT(PTAP)y?2y222T?201?y2?y3且：PAP??01??00
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