3.1 线性定常系统的能控性
对等式?????????????=0 求导直至n－1次，可得：?????????????=0,???????????????=0,?,????????????????????=0令t =0，可得??????=0,????????=0,?,?????????????=0故????????????????1??=0,??????=0
由于??为非零向量，故M行向量线性相关，即rankM 充分性得证。 必要性：若系统完全能控，则rankM=n 反设系统完全能控，但rankM 由于rankM ?????? ???? ??????1??=0,即 ??????????=0, i=0,1,2,?,???1 由凯莱－哈密尔顿定理????,????+1,?均可表示为??,??,?,?????1的线性组合，故可导出 ??????????=0, i=0,1,2,? 3.1 线性定常系统的能控性 从而对于任意??±?????? ??1>0有??????! ?? =0, ??∈[0,??1], i=0,1,2,? 因此，???? ???????+??2!???????????3!????????+???=?????????????=0??1 ??1 故有， ?[?????????????][?????????????]??????=?? ????{?????????????????????????}??=?? 0 0 ????????[0,??1]??=?? ????[0,??1] 奇异，故系统不完全能控，这与已知条件矛盾，反设不成立。于是有 rankM=n。必要性得证。 得证 即 3.1 线性定常系统的能控性 例. 已知系统的状态方程为：??1?1?4?2??12 ????2=063 17试判别其能控性。 其能控性判别矩阵为： M=????????2????=2 ????=?1 ?4?22?40 0 610=11 1 7?111 2?4 ?2故：M=01 72 rankM=rank211 01所以系统完全能控。 1??2+0?? ?1??31??2??=?1 ?4?2?4?20 611=71 7?112 ?2 17=3 12 解：?43.1 线性定常系统的能控性 例. 已知系统的状态方程为：????1110??101??2=010??2+10?? ??1 2 3 011??301试判别其能控性。 其能控性判别矩阵为： M=????????2????=0 11 0100111 0 ????=11 0 1010=10??2??=1011010 11 0故：M=01 112110 10100112 1 rankM=rankM????=rank83 1 33 88 所以系统不完全能控。 1011011118 3=28 1=20112101 解：3. PBH秩判据 3.1 线性定常系统的能控性 线性定常系统完全能控的充要条件是，对系统矩阵的所有特征值????(??=1,2,?,??)：均成立。 ????????[?????????,??]=n,??=1,2,?,?? 证明：必要性：若系统完全能控，则????????[?????????,??]=n，成立；反设系统完全能控，但存在某个特征值????，有????????[?????????,??] ??????=???????? ??????=?? ??由此可得：??????=??,????????=??????????=0,?,?????????????=?????1????=???? 进一步可得：????????????????????=????M=0由于向量??不为0，故rankM 必要性得证
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