空间向量与立体几何教案 (2)

空间向量与立体几何

一、知识网络：

空间向量的加减运算 空间向量及其运算 空间向量的数乘运算 共线向量定理 共面向量定理 空间向量与立体几何 空间向量的数量积运算 空间向量基本定理 平行与垂直的条件 空间向量的坐标运算 立体几何中的向量方法 向量夹角与距离 直线的方向向量与平面的法向量 用空间向量证平行与垂直问题 求空间角 求空间距离

二．考纲要求：

（1）空间向量及其运算

① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；

② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；

③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；

④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用

① 理解直线的方向向量与平面的法向量；

② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；

③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；

④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

三、命题走向

本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。

预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处

理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。

第一课时 空间向量及其运算

一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。

二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。

学生阅读复资P128页，教师点评，增强目标和参与意识。

（二）、知识梳理，方法定位。（学生完成复资P128页填空题，教师准对问题讲评）。 1．空间向量的概念

向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。

说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。

2．向量运算和运算率

??OB?OA?AB?a?b B C ??BA?OA?OB?a?b ?OP??a(??R) ????加法交换率：a?b?b?a. ??????加法结合率：(a?b)?c?a?(b?c). ????数乘分配率：?(a?b)??a??b. ?b ?O a A 说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。

3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量

????叫做共线向量或平行向量。a平行于b记作a∥b。

?? 注意：当我们说a、b共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当

??我们说a、b平行时，也具有同样的意义。

???????共线向量定理：对空间任意两个向量a（a≠0）、b，a∥b的充要条件是存在实数?使b＝?a

??????（1）对于确定的?和a，b＝?a表示空间与a平行或共线，长度为 |?a|，当?>0时与a同向，

?当?<0时与a反向的所有向量。

?（3）若直线l∥a，A?l，P为l上任一点，O为空间任一点，下面根据上述定理来推导OP的表达式。

推论：如果 l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式 OP?OA?ta ①

其中向量a叫做直线l的方向向量。

????在l上取AB?a，则①式可化为 OP?(1?t)OA?tOB. ②

1时，点P是线段AB的中点，则 OP?1(OA?OB). ③ 22①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB的中点公式。

注意：⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基础，也是常用的直线参数方程的表示形式；⑵推论的用途：解决三点共线问题。⑶结合三角形法则记忆方程。

??4．向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在直线与平面?平行或a在?平面内，我们就???说向量a平行于平面?，记作a∥?。注意：向量a∥?与直线a∥?的联系与区别。

共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。

?????共面向量定理 如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数

当t????对x、y，使p?xa?yb.①

注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。

推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y，使

MP?xMA?yMB,④

或对空间任一定点O，有OP?OM?xMA?yMB.⑤

在平面MAB内，点P对应的实数对（x, y）是唯一的。①式叫做平面MAB的向量表示式。 又∵MA?OA?OM,.MB?OB?OM,.代入⑤，整理得

OP?(1?x?y)OM?xOA?yOB. ⑥

由于对于空间任意一点P，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P就在平面MAB内；对于平面MAB内的任意一点P，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量MA、MB（或不共线三点M、A、B）确定的空间平面的向量参数方程，也是M、A、B、P四点共面的充要条件。

???5．空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的

????有序实数组x, y, z, 使p?xa?yb?zc.

???说明：⑴由上述定理知，如果三个向量a、b、c不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是

???????????这个集合可看作由向量a、b、c生成的，所以我们把{a，b，c}?p|p?xa?yb?zc,x、y、z?R?，

???叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量；⑵空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一

个基底；⑶一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的

?概念；⑷由于0可视为与任意非零向量共线。与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含

?着它们都不是0。